例谈抽象函数在函数性质中的应用

黄洪英

抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的函数问题，它是中学数学的一个难点，但这类问题对发展学生思维能力，进行教学方法渗透，有着较好作用。因为抽象，大多数学生遇到这类问题往往束手无策，解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理。近年来抽象函数问题又频频出现于各类考试题中。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

一、抽象函数的定义域

例1：已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，求f(3x-5)的定义域．

分析：该函数是由μ=3x-5和f(μ)构成的复合函数，其中x是自变量，μ是中间变量，由于f(x)与f(μ)是同一个函数，因此这里是已知-1≤μ≤5，即-1≤3x-5≤5，求x的取值范围．

解：∵f(x)的定义域为[-1,5]，∴-1≤3x-5≤5，∴4-3≤x≤10-3 ，故函数f(3x-5)的定义域为[4-3,10-3 ]，这类问题的解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f[g(x)]中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域．

例2：已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域。

分析：令μ=x2-2x+2，则f(x2-2x+2)=f(μ)，由于f(μ)与f(x)是同一函数，因此μ的取值范围即为f(x)的定义域．

解：由0≤x≤3，得1≤x2-2x+2≤5，令μ=x2-2x+2，则f(x2-2x+2)=f(μ)，1≤μ≤5，故f(x)的定义域为[1,5]。

这类问题的解法是：若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．

二、抽象函数的解析式

例3：若等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对x∈R都成立，且f(0)=1，求f(x)。

解：由题意知令x=y，f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，f(0)=f(x)-x2-x，∴f(x)=x2+x+1，这类问题主要是通过具体化来解决。

三、抽象函数的奇偶性

例4：已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(xy)=f(x)+f(y)，求证：f(x)是偶函数。

分析：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1， 得f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0

令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0

于是f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)故f(x)是偶函数。

这类问题主要是通过特殊化来推测结论的方法来解决，以定义进行赋值，首先必须出现f(x)、f(-x)字样，出现f(x)、f(-x)后会产生新的式子，视情况再赋值。值得引起重视的是：零赋值a=b=0；等赋值a=b=x；相反赋值a=x，b=-x；倒数赋值a=x，b= 1-x等是常用的赋值方法。

四、抽象函数的单调性

例5：已知：f(x)在[-3,+∞)为减函数，求f(1-x2)的增区间。

解：1-x2的增区间为(-∞,0]，减区间为[0,+∞)，同时1-x2≥-3⇒-2≤x≤2由复合函数单调性知，其增区间为[0,2]。

单调区间主要是通过图象法来解决。

例6：定义域为实数集Ｒ上的奇函数f(x)单调递减，若f(a2-4)+f(2+a)>0，求a的范围。

解：∵f(x)为奇函数，∴f(2+a)=-f(-2-a)，从而由条件f(a2-4)>-f(2+a)得f(a2-4)>f(-2-a)∴a2-4<-2-a，a2+a-2<0，-2

利用单调性“脱去”记号，转化为有理不等式来解决。

五、抽象函数的周期性

例7：设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，并存在正实数c，使f( c-2 )=0。试问f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y=cosx满足题设条件，且cosπ-2 =0，猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。

∵f[(x+ c-2 )+ c-2 ]+f[(x+ c-2 )- c-2 ]=2f(x+ c-2 )f( c-2 )=0

∴f(x+c)=-f(x) ∴f(x+2c)=-f(x+c)=f(x)

故f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。

例8：设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f(x1+x2)=，②存在正常数a，使f(x)＝1。求证①f(x)是奇函数；②f(x)是周期函数并且有一个周期是4a。

证明：①不妨令x=x1-x2，则f(-x)=f(x2-x1)

=∴f(x)为奇函数。

②要证：f(x+4a)=f(x)可先计算f(x+a)、f(x+2a)，

∵f(x+a)=f[x-(-a)]=

∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

==-

∴f(x)是一个周期为4a的周期函数。

这类问题主要是利用周期函数定义通过转换来解决。

六、求函数值

例9：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，

f(1)=1997，求f(2001)的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然f(x)≠1，于是

，

所以

故f(x)是以8为周期的周期函数，从而 f(2001)=f(8×250+1)=f(1)=1997

这类问题主要是紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

七、求抽象函数的最值

例10：已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时f(x)<0，f(1)=-2。

⑴求证：f(x)为奇函数；⑵f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。

解：⑴令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)，令y=x=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，∴f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数。

⑵设x1>x2，则x1-x2>0∴f(x1-x2)<0，而f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)

∴函数为减函数，∵f(1)=-2，∴最大值为f(-3)=6，最小值为f(3)=-6。

这类问题主要是通过判断函数单调性来解决。

八、研究抽象函数的图象

例11：若函数y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)的图象关于直线_______对称。

分析：y=f(x)的图象y=f(x+2)的图象，而y=f(x+2)是偶函数，对称轴是x=0，故y=f(x)的对称轴是x=2。

例12：求证：函数y=f(a-x)与y=f(a-x)图象关于对称。

证：设(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点，则(a-x0,y0)在y=f(a-x)的图像上；(b+x0,y0)在y=f(x-b)的图像上。又(a-x0,y0)与(b+x0,y0)关于对称。

∴y=f(a-x)与y=f(a-x)图像关于对称。

这类问题主要是通过图像变换特点及规律来解决。