数形结合巧解题

张泽霞

摘 要： 数形结合是数学解题中常用的思想方法，在数学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，达到化难为易，化繁为简，化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决.本文从培养数学数形结合思想的重要性入手，结合几个具体实例，从借助数轴、借助图像、借助单位圆、借助复平面和借助几何构建这五个方面谈谈如何运用数形结合的思想方法解决数学问题.

关键词： 数形结合 思维能力 解题应用 中学数学教学

数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学.数是形的抽象概括，形是数的直观表现，华罗庚教授说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述，代数的论证研究和解决数学问题的一种数学思想方法.

一、培养“数形结合”思维能力的重要意义

数形结合是中学数学解题中常用的、重要的一种思想方法.数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.数形结合的思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面.它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题过程的目的，由于使用了数形结合方法，很多问题便迎刃而解.

纵观多年来的中、高考考题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可收到事半功倍的效果.不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题中优势更明显.因此，在数学教学中，应培养运用“数形结合”的思想引导学生思考，运用“数形结合”的技巧训练学生解题，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.注重数形结合思想的教学，不仅能够提高学生学习数学的兴趣，而且能够提高学生数形转化能力和迁移思维能力，具有重大的意义.

二、“数形结合”思想方法的解题应用

（一）借助数轴，直观深刻.

实数与数轴上的点是一一对应的，从数形结合的观点出发，借助用数轴的思想使抽象的数及其运算方法，让人们易于理解和接受.这样充分运用数形结合思想，能使繁、难的问题变得简单、明了.

例如用数轴上的点表示实数就是数形结合思想的基石，这样把数（实数）与形（数轴上的点），建立起了一种转化对应关系，用点表示数，形象直观用数描述形，科学准确，二者相辅相成.

例1.已知a>0，b<0，|a|>|b|，试比较a，-a，b，-b的大小.

【解析】本题中a，b的具体数值没有确定，但能依据数轴形象地表示它们在数轴上的大致位置.如图1，a>0，表示数a的点在原点右侧，b<0表示数b的点在原点左侧，由绝对值的几何意义知，|a|>|b|表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离大，从而确定数a数b在数轴上的大致位置.又由表示互为相反数的点分居在原点两侧，且离原点的距离相等的性质找到数轴上表示-a，-b的点.观察图1，根据数轴上的点表示的数，右边总比左边的大，知-a

图1

例2.设集合A={x—x∈Z，且-10≤x≤-1}，B={x—x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）

A.11 B.10 C.15 D.16

【解析】这是求并集中的元素个数，A、B中的元素在数轴上易于表示，从数形结合的思想方法来解简单明了，如图2所示，A∪B中含有整数点16个，因此答案为D.

图2

（二）借助图像，直观易懂.

一般地，不等式的解集，函数的性质等进行讨论时，可以借助函数图像直观解决，简单明了.

例3.一次函数y =a x+b 的图像交x轴于点（1，0），一次函数y =a x+b 的图像交x轴于点（7，0），且两图像交于点P（5，3），根据图形3，指出当x为何值时，y >y ？

【解析】这道题体现了图像的直观性，函数图像就是直观的数学语言，用数形结合的思维方法，可以看到y 的值，当x>5时，y 的值递减；当x>5时，y 的值递增.所以当x>5时y >y .

图3

例4.设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=lg（3a-ax-x ）总有意义，求实数a的取值范围.

【解析】函数f（x）有意义，则3a-ax-x >0，即x +ax-3a<0在x∈[-2，2]上总成立.

设g（x）=x +ax-3a，即当x∈[-2，2]时，g（x）<0总成立.

∴依抛物线y=g（x）的特征，将其定位，

有g（2）<0g（2）<0，如图4所示∴4-5a<04-a<0，解得a>4.

图4

因此，借助函数图像的直观性可使很难或很繁的问题变得容易和简单.

（三）借助单位圆，直观又简捷.

例5.如图，极坐标方程ρ=2sin（θ+π/4）的图形是（ ）

A B C D

【解析】题目是由“数”的解析关系找“形”的位置，数形结合，由特殊的“数”否一般的“形”，当θ=0时，ρ= ，点（ ，0）在极轴上，否“形”B、D，当θ= 时，ρ=2，点（2， ）在极轴上半部，否A，所以应选C.

此题用转化的思想方法化极轴坐标方程为直角坐标方程，也可以确定图形圆的位置，但较麻烦.

例6.求函数y= 的最值.

【解析】y可看成两点P（cosx，sinx）与A（2，1）连线的斜率，其中A是定点，动点P在圆x +y =1上，过点A作⊙О的切线AB、AC，如图5，则y =k ，y =k ，易求得k =0，k = .

∴y =0，y = .

图5

（四）借助复平面，几何意义明显.

例7.设|z |=5，|z |=2，|z - |= ，求 的值.

【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解.

【解】设z = ，z = 后，则z = ，z = ，

如图6所示.由图可知，| |= ，∠AOD=∠BOC，

图6

由余弦定理得：

cos∠AOD= =

∴ = （ ± i）=2± i

此题运用“数形结合”思想，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼，从而使复杂问题简单化.

例8.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，|z+i+1|的最小值是（ ）

A.1 B. C.2 D.

图7

【解析】设复数-i，i，-（1+i）在复平面上对应的点分别为z ，z ，z ，因为|z+i|+|z-i|=2，|z z |=2，所以点z的集合为线段z z ，则问题转化为：动点z在线段z z 上移动，求|zz |的最小值，因为z z ⊥z z ，所以当z与z 重合时，|zz |取最小值，|z z |=1，其几何意义见图7，故选A.

假如此题运用代数法，转化为普通函数求最值，则运算相当麻烦.

（五）借助几何构建，以形助数.

例9.已知a、b均为正数，且a+b=2，求 + 的最小值.

【解析】如图8，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，过A作AC⊥AB，且AC=2，过B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE= ，BD= ，原题即求CE+ED的最小值.如图8，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短.作出图形，延长DB至F，使BF∥AG且BF=AG，连接GF.则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2

∴DG= = =

∴CE+DE的最小值是

即 + 的最小值是 .

小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题.

图8

例10.设f（x）=1+ ，a，b∈R且a≠b，求证：|f（a）-f（b）|<|a-b|

【解析】本题直接证明较繁.如能由f（x）= 的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁.

图9

∵a≠b不妨设a>b，构建如图9的Rt△OAP，

其中OP=1，OA=a，OB=b

则PA= =f（a），PB= =f（b），AB=a-b

在Rt△OAP中，有|PA-PB|

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|

从以上解题过程可以看出，借助数轴、图像、单位圆、复平面和几何构建运用数形结合的思想方法解决数学问题可收到事半功倍的效果.数形结合的思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它可以巧妙地解决很多抽象的数学问题.

可见，数形结合思想是很重要的思想，在中学数学教学中具有举足轻重的作用，同时也是分析问题、解决问题的有力工具.正确运用数形结合这一思想思考问题，学生能够提高解题能力和创新能力.

参考文献：

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