由一道高考模拟题想到的

靳峰娜

摘 要： 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，以方程的观点研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题速度，以至于被迫中止解题过程.特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量地完成解题任务，计算能力是考查的一个重要方面.探索减小运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程显得非常重要.

关键词： 解析几何 减少运算量 高考模拟题

笔者在高三复习时遇到这样一道模拟题：

如图，已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 + =1的两条渐近线为l ，l .过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l ，又l与l 交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.

（Ⅰ）若双曲线的离心率为 且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）问为例，按照解析几何的常规做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）与l ∶y= x联立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

则 = = = ≤ = -1，（当t= -1时取等号）

∴ 的最大值为 -1.

总结：这种做法运算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此种解法并没有用到在解解析几何题经常使用的“设而不求”的方法，比如韦达定理，“点差法”等.从减少解析几何运算量的角度来说，此种解法中“设点并求”是不太可取的一种方法，不到万不得已不用.那么是不是除了这种“通法”外，此题就没有其他减小运算量的方法呢？

联想平时在计算解析几何题时用的一些减小运算量的小“技巧”，笔者试着从以下角度分析求解本题：

1.改变设法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c与l ： x联立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

总结：当已知直线的横截距时，设直线为x=ty+m型往往会收到意想不到的效果.另外，此题在求线段比时将其投影到y轴，可以减少一个点的坐标的运算.不要小瞧这“一小步”，对于较复杂的解析几何题来说这是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，则 =λ ，

由原解知P（ ， ），进而x = = = y = = = 将其代入椭圆C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

总结：向量本身就是一种工具，此种解法正是利用这个有效工具，进而得到点的坐标，再利用在椭圆上这一条件得出结论，给人一种顺理成章，一气呵成的感觉.

3.活用平几

另解3：过P作x轴的垂线交x轴于C，过A作PC轴的垂线交PC轴于A .记l与l 的交点为D，则O、P、C、D四点共圆，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在椭圆的右准线上，则 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小结：以上解法借助圆的几何性质解题，令人拍案叫绝.采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范.

以上共介绍了三种解析几何中常用的减小计算量的方法.其实，在解决解析几何问题时，减小计算量的方法还有很多，比如设而不求、点差法、三角代换、极坐标、参数方程、使用特值等，并且不同的题目会有不同的处理办法，只要在平时的练习中多实践、多总结，就能够以简驭繁、事半功倍，使解题思路构筑在较高的层面上.

参考文献：

[1]谢全苗.论数学求简精神的培养.数学通报，2004.2.

[2]成军.用平面向量巧解一题.中学数学，2006.5.

摘 要： 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，以方程的观点研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题速度，以至于被迫中止解题过程.特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量地完成解题任务，计算能力是考查的一个重要方面.探索减小运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程显得非常重要.

关键词： 解析几何 减少运算量 高考模拟题

笔者在高三复习时遇到这样一道模拟题：

如图，已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 + =1的两条渐近线为l ，l .过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l ，又l与l 交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.

（Ⅰ）若双曲线的离心率为 且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）问为例，按照解析几何的常规做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）与l ∶y= x联立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

则 = = = ≤ = -1，（当t= -1时取等号）

∴ 的最大值为 -1.

总结：这种做法运算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此种解法并没有用到在解解析几何题经常使用的“设而不求”的方法，比如韦达定理，“点差法”等.从减少解析几何运算量的角度来说，此种解法中“设点并求”是不太可取的一种方法，不到万不得已不用.那么是不是除了这种“通法”外，此题就没有其他减小运算量的方法呢？

联想平时在计算解析几何题时用的一些减小运算量的小“技巧”，笔者试着从以下角度分析求解本题：

1.改变设法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c与l ： x联立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

总结：当已知直线的横截距时，设直线为x=ty+m型往往会收到意想不到的效果.另外，此题在求线段比时将其投影到y轴，可以减少一个点的坐标的运算.不要小瞧这“一小步”，对于较复杂的解析几何题来说这是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，则 =λ ，

由原解知P（ ， ），进而x = = = y = = = 将其代入椭圆C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

总结：向量本身就是一种工具，此种解法正是利用这个有效工具，进而得到点的坐标，再利用在椭圆上这一条件得出结论，给人一种顺理成章，一气呵成的感觉.

3.活用平几

另解3：过P作x轴的垂线交x轴于C，过A作PC轴的垂线交PC轴于A .记l与l 的交点为D，则O、P、C、D四点共圆，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在椭圆的右准线上，则 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小结：以上解法借助圆的几何性质解题，令人拍案叫绝.采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范.

以上共介绍了三种解析几何中常用的减小计算量的方法.其实，在解决解析几何问题时，减小计算量的方法还有很多，比如设而不求、点差法、三角代换、极坐标、参数方程、使用特值等，并且不同的题目会有不同的处理办法，只要在平时的练习中多实践、多总结，就能够以简驭繁、事半功倍，使解题思路构筑在较高的层面上.

参考文献：

[1]谢全苗.论数学求简精神的培养.数学通报，2004.2.

[2]成军.用平面向量巧解一题.中学数学，2006.5.

摘 要： 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，以方程的观点研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题速度，以至于被迫中止解题过程.特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量地完成解题任务，计算能力是考查的一个重要方面.探索减小运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程显得非常重要.

关键词： 解析几何 减少运算量 高考模拟题

笔者在高三复习时遇到这样一道模拟题：

如图，已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 + =1的两条渐近线为l ，l .过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l ，又l与l 交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.

（Ⅰ）若双曲线的离心率为 且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）问为例，按照解析几何的常规做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）与l ∶y= x联立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

则 = = = ≤ = -1，（当t= -1时取等号）

∴ 的最大值为 -1.

总结：这种做法运算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此种解法并没有用到在解解析几何题经常使用的“设而不求”的方法，比如韦达定理，“点差法”等.从减少解析几何运算量的角度来说，此种解法中“设点并求”是不太可取的一种方法，不到万不得已不用.那么是不是除了这种“通法”外，此题就没有其他减小运算量的方法呢？

联想平时在计算解析几何题时用的一些减小运算量的小“技巧”，笔者试着从以下角度分析求解本题：

1.改变设法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c与椭圆C： + =1联立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c与l ： x联立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

总结：当已知直线的横截距时，设直线为x=ty+m型往往会收到意想不到的效果.另外，此题在求线段比时将其投影到y轴，可以减少一个点的坐标的运算.不要小瞧这“一小步”，对于较复杂的解析几何题来说这是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，则 =λ ，

由原解知P（ ， ），进而x = = = y = = = 将其代入椭圆C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

总结：向量本身就是一种工具，此种解法正是利用这个有效工具，进而得到点的坐标，再利用在椭圆上这一条件得出结论，给人一种顺理成章，一气呵成的感觉.

3.活用平几

另解3：过P作x轴的垂线交x轴于C，过A作PC轴的垂线交PC轴于A .记l与l 的交点为D，则O、P、C、D四点共圆，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在椭圆的右准线上，则 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小结：以上解法借助圆的几何性质解题，令人拍案叫绝.采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范.

以上共介绍了三种解析几何中常用的减小计算量的方法.其实，在解决解析几何问题时，减小计算量的方法还有很多，比如设而不求、点差法、三角代换、极坐标、参数方程、使用特值等，并且不同的题目会有不同的处理办法，只要在平时的练习中多实践、多总结，就能够以简驭繁、事半功倍，使解题思路构筑在较高的层面上.

参考文献：

[1]谢全苗.论数学求简精神的培养.数学通报，2004.2.

[2]成军.用平面向量巧解一题.中学数学，2006.5.