《实际问题与一元一次方程》教学之得

蔡梦娴

【摘 要】我们的学生在小学阶段对应用题有一定的了解，但用的是纯算术的方法，进入初中后解实际问题用的是代数方法，学生不适应。刚进初一的学生年龄一般都在12、3岁之间，这个年龄段是儿童向青少年过渡的时期，正处于从小学生到初中生的角色过渡期、适应期。因此要把握好这一时期，加紧对他们的数学思维能力的培养。而学习用一元一次方程解决实际问题正是一个很好的培养机会！

【关键词】一元一次方程；解决实际问题

在课间我随机问了一些学生，“你觉得列方程解应用题难吗？”，几乎所有被问的学生都回答“难！”，而老师在问他们的时候并没有给出具体的题目。由此可得出，列方程解应用题这一知识在学生心目中的印象就是非常难的，只要看到题目是应用题，很多学生就自然而然害怕起来，而从心理上就放弃了该题！

针对这些情况我在教学中做了下面这些尝试。

一、用一元一次方程解决实际问题初期教学

小学的列算式是用已知数表达计算程序，而方程可用未知数表示相等关系，依据是问题中的等量关系。所以最初主要是训练学生理解题目的能力和寻找等量关系的能力，为解决更加复杂的问题打下基础。我们在初期可以主要以图解分析题目的方法来训练学生解题的基础。要清楚的讲解列一元一次方程的基本步骤：①设元（分为直接设法和间接设法，单位前为多项式的要用括号括起来）；②分析（主要采用图解法）；③找题目中等量关系；④列方程；⑤解方程且检验（两层检验：检验结果是否正确，检验结果是否合理）⑥答题。

例一：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分四本，则还缺25本。这个班有多少学生？

分析：相等关系：这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子相等（这只是该题分析，不写到解题过程中）

解：设这个班有x名学生。图解：

（图一）

列方程：3x+20=4x-25

虽然题目中说是一些图书和某些学生，似乎是一个不确定的数，但其实，在这批图书和这个班的学生在已知条件没有改变它们的情况下，它们是定值，也是未知。而这道题的所求问题是未知的这个班的人数，用字母x代表它，通过已知条件可以用两个代数式表示这批书，这两个代数式即存在相等关系。这些复杂的文字描述，我们可以图一就可以知道，更加直观，更加具体，不需更多的解释，这样可以培养学生数学简单化的能力和阅图能力，分析理解能力。

例二：运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑490m，乙练习跑步，每分跑250m，两个人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？

分析：相等关系：甲路程-乙路程=运动场长度（这只是该题分析，不做解题过程）

解：设经过x分钟首次相遇

图解： 250x 400

490x

（图二）

列方程：490x-250x=400

在一元一次方程解应用题的开始，应该让学生感觉到是“我可以做到的”，树立他们对于解应用题的信心，对解应用题有自己的足够的见解，所以应该让学生学到，解一元一次方程是有迹可循的，解一元一次方程是有章可依，而图解法就是把题目中复杂的文字，抽取出来，转化为图解，使题目变得简洁，明了。这样可以让学生学会分析题目，让学生学会从题目中知道什么是我们已知的，什么是它们之间的等量关系。

二、用一元一次方程解决实际问题中期教学

随着学习一元一次方程解应用题的深入，慢慢题目也越来越复杂，常常涉及两个方面，三个量，我们的分析方法也应该更加进步，随之丰富我们的解题思路，这个时候我们可以通过一个简单列表法锻炼学生理解题目和寻找复杂一点的等量关系列方程的能力，由于许多学生不懂列表法，所以初期应该老师把表列出来，给予学生正确的引导，让学生学会合理运用列表法帮助自己解决问题。下面举几个例子来说明列表法的运用：

例三：一辆大汽车原来的形势速度是30千米/时，现在开始均匀加速，每小时提速20千米/时；一辆小汽车原来的行驶速度是90千米/时，现在开始均匀减速，每小时减速10千米/时。经过多长时间两辆车的速度相等？这时车速是多少？

分析：相等关系：大车后来的速度=小车后来的速度

解：设经过x小时后辆车车速相等。

图解： 30 20x 10x

90

（图三）

图表1：

原来的速度 后来的速度

大车 30千米/时 30+20x

小车 90千米/时 90-10x

列方程：30+20x=90-10x

在这个题目中给了很多已知条件，大车和小车原来的速度，大车每小时提高的速度，小车每小时减少的速度，从问题可以知道，大车和小车所用时间相同，速度相等。大车和小车经过了x小时后，速度相同。这些分析过程，通过图表和图解都可以简单、明了的显示，所以在此过程中，要进一步巩固学生解题方法，通过两种方法的比较，学会主动分析那种方法更简单，在哪些题型该用图解法，哪些题型该用图表法，或者不用这些方法，用别的方法也可以进行分析，必须给学生一种数学思想。

例四：整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

分析：这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为

解：设先安排x人工作4小时。

图解：

1

（图四）

图表2：

工作效率 工作量

X个人完成 x—40

（x+2）个人完成

列方程：=1

在实际问题难度不断增加的过程中，我们不止是学会解决了一些比较复杂的题，更是要在潜移默化中学会更多的解题方法，有解决复杂题目的信心，和建立自己一套应对方程解应用题的思路方法，而在利用的过程中，学会反思，用哪种方法更加简单，更加适合题目，而新学的图表也锻炼了学生的总结能力！

三、用一元一次方程解决实际问题后期教学

随着一元一次方程解实际问题教学的深入，不能只停留在会解决一类型，一系列的题，而是要学会一种应用代数知识的数学思想。

所以，突出了循序渐进的原则，加强变式训练，更新认知模式，波利亚的理论认为，认知结构的形成和发展是同化作用和顺应作用两种机能的平衡的不断发展，初一学生往往喜欢套题型，机械模仿，对面临的新问题抓不住问题的关键，针对这个问题宜采取加强变式训练，更新认知的模式。

一题多解的训练可以达到这个目的：

例五：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2个小时50分，逆风飞行需3个小时，求两个城市之间的飞行路程？

分析：由两城市之间的路程不变，可得到

相等关系：1.顺风飞行路程=逆风飞行路程

这就提示我们在变量问题中要善于发现不变量，因此，本题可以设想飞机在无风情况下飞行速度相等。

解1：设飞机在无风时飞行速度为每小时x 千米，则有方程：

（x+24）×25-6=（x-24）×3

解2：顺风时风推飞机，逆风时风阻飞机，那么，顺风速度与逆风速度每小时相差48 千米。

设：飞机在顺风时速度每小时x千米，则有方程：

17-6x=（x-48）×3

解3：设飞机在逆风时速度为每小时x千米，则有方程：

（x+48）×25-6=3x

相等关系2：飞机在无风情况飞行的速度=顺风飞行速度-风速=逆风飞行速度+风速

解4：设两个城市之间的距离为x千米，则有方程：

6-17x-24=x-3+24或6-17x-x-3=48或6-17x-48=x-3

相等关系3：因两城市距离一定，风速和时间都在变化，联系小学反比例关系问题知：飞机飞行的速度与时间成反比：

即：顺风速度∶逆风速度=逆风时间∶顺风时间

分别设出飞机在无风、顺风、逆风中飞行速度又可得到三种。

无论是用图解法，图表法列一元一次方程解应用题，还是训练一元一次方程应用题多解。都是数学学习过程总结的一些方法和经验，却不是唯一的，也不是必须，通过数学的学习，经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想，会用一元一次方程解决一些实际问题；培养学生分析问题，解决问题的能力；在积极参与教学活动的过程中，初步一元一次方程的使用价值，感受到数学的应用价值，激发学习数学的信心。