新形势下数列教学改革探索

谢培城

摘 要：在新的形势下，教育工作者既要把课堂交还给学生，又要促进课堂教学的效益的高效化，向课堂要质量。数列在高中数学知识中是一个基本的数学模型，也是学生所必须掌握的内容之一。教师要结合在数列教学中革新教育理念和教学方法的实践经历，围绕如何提高高中学生数学课堂探究学习的有效性进行探索。

关键词：等差数列；等比数列；发散思维

分析研究近年来的全国各省市高考原题，不难发现数列知识占据了10%～15%的比例。其中既有选择题，也有解答题，甚至多数还处于压轴题的位置。所考查的知识点涉及数列的基本概念、等差数列、等比数列、递推数列乃至导数，同时也映射到相关的分类讨论思想等一些数学思想的应用。可见数列的教学在高中数学学习中的地位何等重要。本文根据自身的教学经验，从新课改的标准出发，探讨了相关的教育教学方法。

一、重视思想促探究

数列知识的学习其意义不仅仅在于掌握一些新的数学工具，建构一些新的数学模型，数列的学习探究过程中还包含了很多的数学思想和方法。其中包括数学归纳法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等数学方法，另外还有方程与函数思想、类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、由特殊到一般的转化思想等等数学思想。重视这些思想方法的应用渗透，有助于教师从根本上把握数列这一章的教学内容，帮助学生夯实数学学习的基本功，从而使其举一反三，将高中乃至今后要学习的数学知识融会贯通。教学中，教师要结合清晰的引导和展示，让学生逐步体会这些思想方法的特点，掌握他们适用的具体情境，并激励学生积极使用这些知识去解决问题。

如在推导等差数列求和公式时，为了更好地让学生感受到成功的体验，教师先讲述了高斯少年时代快速求解1到100的自然数之和的故事，然后让学生思考，高斯的方法对于我们今天的数列学习有没有提示。学生很快发现：其实1到100的自然数也是一个等差数列，于是他们开始研究高斯的解题思路。之后，教师出示了探究要求，即“已知等差数列{2，4，6，8，10，12}，能快速求出它们的和吗？”题目很简单，学生在故事积淀的基础上很快列式求和：3（2+12）=72。然后教师又出示了第二个习题“求等差数列{2，4，6，8，10，…2n}的和Sn”。有了前面的基础，学生快速求出“Sn=n（n+1）”。显然，这只是教师在引导学生推导等差数列求和的一般公式之前所做的一些热身工作，随后教师出示了“求等差数列{an}的前n项之和Sn”的命题，学生开始了自主探究：Sn=a1+a2+a3+…+an=■ 。这个过程教师应用了类比迁移思想，把学生一步步由特殊化的数列求和引向一般化的数列求和。为了更好地促进学生对数学思想的掌握和领悟，教师又帮助学生展示了使用倒序相加法求等差数列前n项和的过程，学生收获的不只是一个等差数列求和公式，更重要的是基本的数学思想方法的渗透。

显然，学生要面对的不仅仅是这样单纯的数学推理，因此教师在课堂中又设计了如下例题让学生解答以体验并巩固所学知识。

【例1】求和： ■+■+■+…+■+■。

这道例题并不能单纯地使用等差数列求和公式来解答，由于教师在教学中的训练重点在于数学思想习惯的养成，所以学生的最近发展区不仅仅停留在等差数列的求和公式的应用方面，略加观察便发现其实本题要使用倒序相加的方法来解答的。

解：原式为①，将原式倒写得到②式，①+②=10×1，因此Sn=5。

数学思想方法与知识传授相结合的探究使得学生在第一时间就获得了广泛深入的知识训练，其思维能力也从单纯的概念性知识转化为内化的数学能力。

二、横向迁移织网络

在实际生活中，任何问题都不能够依靠单纯的某项知识来解答，往往是综合在一起的。数列本身与函数、方程、不等式乃至解析几何、导数都有着千丝万缕的联系，它们综合在一起就会转化为比较复杂的多元化问题。而纵观历年的高考题，为难学生的往往正是这些题目。因此，在引导学生探究学习时，教师还要注重各方面数学知识的综合应用。通过这样的综合性训练，能让学生的思维不断向宽处向纵深处延伸拓展，最终培养学生的综合素质，提高分析解决问题的能力。

【例2】函数f（x）=■；记an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）；（n∈N+），求an并求出数列{an}的前n项之和。

【解析】此题是函数与数列组合而成的一道综合型题目，一方面要研究函数的性质，另一方面要求数列的通项式并求和。这样的综合训练，把学生学过的知识都糅合了进去，形成层层嵌套的结构，需要学生逐层剥解，同时重在训练学生的知识迁移能力。

记①=an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）。

②=an=f（1）+f（■）+…f （■） +f （■）+f（0）。

则①+②=2an=（n+1）·[f（1）+f（0）]。

∵f（x）=■，∴f（1）=■=■，f（0）=■=■。∴an=■。

∴Sn=■=■·（■+■ ）=■。

【例3】设数列{an}的前n项和Sn=na+n（n-1）b；（n∈N）。a、b是常数且b≠0。

（1）证明：数列{an}是等差数列。

（2）证明：以（an，■-1） 为坐标的点Pn（n∈N）都落在同一条直线上，并求出此直线的方程。

【解析】显然，第一小题是对等差数列求和公式的应用，而第二小题则结合了解析几何的知识来考查学生对于数列和解析几何知识是否能够熟练应用。第一小题可用“裂项相消”的方法来进行一般性计算证明。

（1）证明：∵ Sn=na+n（n-1）b，∴ Sn-1=（n-1）a+（n-1）（n-2）b，∴ an=

Sn-Sn-1=a+2b（n-1），∴ an-1=a+2b（n-2），∴ an-an-1=2b。结合题意b是常数且b≠0，可知数列{an}各项之间存在公差2b，即数列{an}是等差数列。

（2）证明：∵ b≠0，当n≧2时，有■=■。

∴ Pn（an，■-1） 都落在通过P1（a，a-1）且斜率为■的直线上。

由点斜式可得此直线方程为y-（a-1）=■（x-a），整理得到：x-2y+a-2=0。

特别是例3中第二小题，在解题构思的过程中，要根据直线表达式的特征来列关系式，然后在计算时又要根据数列的相关知识带入通式和数列求和表达式，在这样的融合中，知识已经几乎不能分清界限了。在引导探究的过程中，教师要锻炼学生的知识层次感，让他们知道当两层知识相套时谁是主导的工具，谁是辅助的方法。而这种体验，只有在长期的培养中才能让学生越来越明确的掌握，并用以指导自己的学习实践。

三、讲练结合促效果

在以学生为主导的探究式课堂中，教师的讲解也不可或缺，但是讲解要注意把持好度，一般帮助学生分析并点明要害即止，要给学生留足思考的时间。要有讲解，但是教师也要善于甚至敢于等待，在我们点明题目主旨之后，学生的思维需要一定的缓冲和适应时间，所以大可不必为他们突如其来的静默而担心。讲练式的学习必须结合一题多解原则，尽可能地调动学生思维的最近发展区，训练学生的发散思维进而熟练掌握难点知识。

【例4】若一个等差数列前三项和是34后三项和是146，所有项的和是390，那么这个数列有（ ）项？A.13 B.12 C.11 D.10

【解析】该题由于题目条件较为单纯，且已知因素是多元的，因此其突破口比较多。整体可以考虑这样的两种思路：其一，根据等差数列的性质，我们可以先算出首尾两项的和值，然后计算项数。其二，根据等差数列各项与公差之间的关系列出一系列表达式，做进一步计算。其三，利用高斯求解1到100自然数之和的方法进行推测，也可迅速得出结论。

解法一：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=■=30；■=7；7+6=13。

解法二：设a1为首项，d为公差，n为项数则列出方程组：

解na1+d=3903（a1+d）=34n（a1+d）=146 ，可得n=13。

解法三：因已有六项之和为180，剩余项之和为210，大于180，因此中间项数应大于6，观选项应该大于12，因此选A。

此题简易，但是足可说明一题多解的训练给学生的思维带来了什么样的影响。一方面要立足于基本的数列性质和数列特点，另一方面要有敏锐的洞察力和对比能力，只有这样才能高效地完成解题任务。

总之，数学教学的改革是一项系统的复杂工程，涉及到教学过程的方方面面。因此，教师要充分认识到数学教学的重要性，把素质教育的思想贯穿到教学的各个环节中，以更好地培养学生对数学学习创新思维能力，使高中数学在培养创新精神、创新意识和创新能力等方面发挥更大的作用。

参考文献：

[1]刘家富，谢贤良.等差数列与等比数列的一题多解[J].德阳教育

学院学报，2004（3）.

[2]潘萍.数列教学方法改革的探索[J].数学教学通讯，1984（4）.

（广东省河源市龙川县实验中学）