寻找矛盾探究通往罗马之路

成效雨

摘 要：本文从反证法的理论基础（反证法理论概述、逻辑依据、应用步骤）的阐述出发，讨论了在至多问题或者至少问题、存在性问题或者唯一性问题、不可能性问题中的相关反证法解题思路，并对反正法解题中应该注意的问题进行了分析和总结. 在进行高中数学解题的过程中，应该找准方法，并正确而灵活的应用，从而达到解题的最终目标.

关键词：反证法；高中数学；归谬方案；解题思路

[?] 反证法概述及其应用步骤

不管是采取何种方法对数学题目进行证明或者解答，只要思路清晰、推理正确、思维严谨，就都具有不错的效果.在通往罗马的道路上，运用反证法进行归谬分析，寻找矛盾，也是一种不错的解题思路和方法. 要想正确地运用反证法进行问题的分析和证明，需要首先对反证法的理论和应用步骤了解清楚.

（一）反证法理论概述

反证法，还有一个称呼是“归谬法”，由于这种解题策略和方法的关键是进行“归谬”，故也可以称之为“归谬法”.在原有命题的条件下，对条件进行肯定，对结论进行否定. 在结论否定的前提下，进行推理和分析，在推导的过程中，找出问题的矛盾，进行归谬分析，最终达到证明原有结论的目的.

（二）反证法逻辑依据

反证法的逻辑依据为，根据命题“若A则B”，首先肯定命题的条件A，否定命题的结论B，再根据矛盾律和排中律，找出条件A和否定过的B之间不可能同时存在的矛盾，从而肯定了命题“若A则B”. 也就是说，反证法为了证明某一结论的正确性，不选择从证明出发进行分析，而选择从反面出发进行探究，从而找出矛盾所在，进行归谬，得到本身命题的正确性的证明.

在运用反证法进行问题的证明过程中，找出矛盾——归谬是运用反证法进行解题的关键. 所以，反证法也可以说是“归谬法”. 另一方面，选取不同的角度进行阐述的话，反证法也可以说是“简单归谬法”或者是“穷举归谬法”. “简单归谬法”是说结论的反面只有一种情况，“穷举归谬法”指的是命题结论的反面不止有一种情况，需要进行穷举证明.

（三）反证法应用步骤

反证法的解题模式，可以简单地归纳为“否定结论——进行推理——得出矛盾”. 详细地说，就是首先对结论进行正确的否定，其次经过思路清晰、逻辑缜密的推导过程来进行逻辑推理，从而找出相关矛盾，达到归谬的目的. 所以，反证法也可以说是“对否定的否定”. 具体应用反正法解题的三个步骤为：步骤一、反设，对结论进行反设，也就是做出与求证结论相反的假设；步骤二、归谬，在反设结论的前提下，通过一系列正确的推理和逻辑缜密的推导，得出相关矛盾；步骤三、结论，通过归谬，得出结论的正确性，最终问题得以解决.

[?] 反证法在高中解题过程中的应用实践

（一）至多（少）问题的归谬方案

例1 对于x，y这两个正整数而言，x+y>2，请证明<2或者是<2至少有一个结论成立.

分析：对于这类至少或者至多的问题，可以从反面进行假设，设定其结论都不成立，并经过分析和推导，找出矛盾点，最后获得问题的答案.

证明：首先假设<2或者是<2都不成立，也就是≥2和≥2都成立. 由这个都成立，得出1+x≥2y，1+y≥2x，从而x+y<2.这个结论与题设中的x+y>2相互矛盾，从而得出原来结论的正确性.

点评：经过上述这道例题的分析，可以知道，对于这个至少、至多的问题，可以采取假设法，从其对立面进行假设分析并推导证明，最后获得与“与部分题设相矛盾”的矛盾，从而反向证明了原来结论的正确性.对于这类问题，运用的是“与部分题设相矛盾”的归谬方案来进行的反证过程.

（二）存在性类型问题的归谬方案

例2 请证明5x=12只有唯一解.

分析：对于“唯一解”或者是“存在性”相关的问题，可以选择反证法，将其结论进行反向假设，并根据相关数学知识，进行缜密的推导和逻辑思维的分析，从而找出相关问题之间的矛盾，进行归谬，证明出原有命题结论的正确性.

证明：假设5x=12的解不是唯一的，先假设还有另外一个解存在，那么5x1=12和5x2=12都能成立，那么=1，也就是5x1-x2=1，根据数学书本上相关定义，得出x1-x2=0，即x1=x2，与假设的有两个根不相符合，从而得出原有题设的正确性，即5x=12只有唯一解.

点评：在对这样的存在性或者是唯一性命题进行分析和思考的过程中，可以选取反证法来进行归谬，将“存在”理解为“至少有一个”，那么它的反面就是“一个也没有”；将“唯一”理解为“有一个且只有一个”，对其反面进行分析，就是“有一个以上”，即“至少有两个”. 通过这样的反面结论的假设，从而将结论进行否定，经过分析推导，得出与原有条件或者真命题相互违背的谬论，最终获得原命题正确性的验证.[?] 应用反证法应该注意的问题

反证法不是万能的，但是对于某些问题，运用反证法自然有它自身的优势和作用，会带来柳暗花明又一村的效果.当然，运用反证法也应该注意其内在的一些关键问题，下面进行反证法注意事项的分析.

（一）对结论应该进行正确否定

对结论进行正确的否定是运用反证法解题的第一步，也是比较关键的一步，它决定了证明过程以及思路的开展策略. 因此进行正确的结论否定相当重要. 比如，在对命题“三角形至多有一个直角”进行否定时，根据分析，得出“至多”的含义是“没有”或者是“只有一个”，从而对结论进行反证应该是“三角形中至少有两个直角”.

（二）需要对推理特点进行明确

对于反证法的开展过程，应该进行明确的推理，找到矛盾的关键，最终才能达到证明的目的. 首先否定结论，其次找到矛盾，这就是反证法的一般思路. 但是，一般的矛盾都是不可预测的，并且在高中数学证明题或者是其他类型题目的解答过程中，并没有模版性思路，从而学生需要对反证法进行自我归纳和分析. 在进行反证过程中，一般与相关领域相结合进行思考，比如，平面几何问题的证明一般是找出与真命题（公理、定理或者是定义）相矛盾，运用与真命题矛盾的归谬方案等等. 在进行推理前，并不需要规定会产生什么矛盾，而首先必须做的就是正确地否定结论，以此来推导相关问题，做到步步为营，步步有理有据，从而根据矛盾的大致方向，找出矛盾之处，获得问题的解答.

（三）熟练运用并了解矛盾种类

一些学生可能对反证法的思想和运用方法感觉到轻车熟路，有些学生又或许会觉得绕来绕去，自己已经被绕糊涂了，就更不用说去证明问题了. 而针对这些问题，就需要学生多进行平常的解题训练，有意识地将反证法的思想融入解题策略中，并加以实践证明，从而总结出心得体会. 比较关键的一点是，需要对矛盾种类熟练掌握，从而才能确保推导过程的顺利进行. 经过总结，反证法的矛盾种类可能是与题设或者是部分题设相矛盾，也可能是与真命题相矛盾，还可能是与临时的假设相矛盾. 真命题包括定理、定义、公理或者是性质等. 找出矛盾种类，就是找到了反证法的“题眼”，也就能够确保反证法过程的顺利开展.

总结：经过上文的分析可以得出，在对高中数学一些至多（少）、存在性、不可能相关问题进行证明的过程中，借助反证法是具有不错的效果的. 反证法是从问题的结论出发，做出与问题结论相反的假设，并通过归谬的方法，找出矛盾的某些方面，也就是得到反设不成立，最终达到证明结论的目的. 针对某些特殊题型运用反证法，关键目标是进行归谬，关键问题是找出谬点，从而达到证明问题结论正确性的目的. 在今后的高中数学解题过程中，教师应该多注重对学生思维扩散能力的培养，引导学生采取合适的、不同的方法进行解题和思考，从而提升学生的解题能力，促进学生各方面能力的综合提升.