高三数学解题教学的几点注意

蒋国庆

摘 要：笔者参加了2013年江苏高考数学阅卷，其间所见所闻引发了笔者对高三数学解题教学的一些思考，主要有：（1）注意证明过程的严谨性；（2）注意解题过程的自我监控；（3）注意运算能力的培养；（4）注意解题书写的规范性.

关键词：高考阅卷；解题教学

笔者有幸参加了2013年江苏省高考数学阅卷，面对学生的数学试卷及其出现的问题，感触颇多. 下面就其中几点与大家探讨，希望能对今后的数学复习教学有所启发.

[?] 注意证明过程的严谨性

2013年江苏数学高考题考查证明的主要是第16题和第20题，前者为立体几何，后者为代数推理论证. 从阅卷情况来看，多数考生对这两道题的证明过程存在“对而不全”的现象，尤其是第20题，学生的实际得分与估分相距甚远.下面就以第20题为例，谈谈笔者对证明题教学的一些想法.

从以上解答可以看出，f（x）的零点个数确实求正确了，但以此作为证明过程却有问题，这是典型的“以形代证”. 而本题所要求的绝不是从图象上的直观判断，而是要经过严密的推理把这几个零点都找出来，这就要用到必修一所学的“零点存在性定理”. 多数一线教师对本题的评分标准颇有微词，也有教师对能否使用分离变量产生疑惑，其实分离变量的方法并不错，是后续证明零点个数出现了问题.

我们一定要避免一种倾向：对证明过程严谨性的轻视. 数学证明的教育价值最重要的方面在于培养学生的理性精神.对数学文化中的理性精神，齐民友先生做出了如下的精辟论述，他说：“每个论点都必须有根据，都必须持之以理，除了逻辑的要求和实践的检验，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令，还是流行的风尚，统统是没有用的. 这样一种求真的态度，倾毕生之力，用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜——宇宙和人类的真面目是什么？是人类文化发展到高度的标志.这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一.” 高三数学复习中对证明的处理一定要上升到“理性”的高度，即使带有功利色彩，也应重视其逻辑严谨性. 如上述高考题，命题专家的初衷不乏对学生“理性精神”的考查，而结果却很遗憾.

本题是一道数列题，尽管相比较以往的高考题，今年的数列题容易了许多，但解答情况也不尽如人意，其第二问80%的学生的解法是取n=1，2，3，由2b2=b1+b3列出了方程，却算不出结果.本题较好的解法是设数列{bn}的通项为关于n的一次函数，然后利用等式恒成立做.按道理说，今年的试卷学生做到第19题时间上还是很宽裕的，应该有时间进行深入思考. 然而从学生的解答来看，当取n=1，2，3解不出结果时，很少有学生能及时调整解题思路. 有教师说学生可能对等差数列的几种表征形式不熟练，事实上有几个学生不知道等差数列的通项公式呢？他们真正缺乏的是对解题过程进行自觉地监察、检查、评价、反馈、控制和调节，也就是解题过程的自我监控.

自我监控属于元认知范畴，在平时教学中可采用“自我提问法”和“出声思维法”来培养学生的自我监控能力. 常见的自我提问问题有：问题的特征是什么？问题的条件是什么？问题的结论是什么？解决问题的计划、步骤、方法如何？为什么采取这样的方法？有没有其他方法？还有什么问题可以用这种方法？通过自我提问激发学生思考，促使学生自觉地围绕目标制订计划，在解题过程中进行有意识的检验和反馈，并进行有意识的调节和矫正. 出声思维是指伴随着学生的思维过程而出现的言语活动.它可能是学生的自言自语，也可能是由他人引发出来的言语活动. 根据夸美纽斯的教学原理“教一个活动的最好方法是演示”，一般开始时，教师要进行相关的示范，通过言语将自己对某个问题的思考过程呈现给学生，让学生慢慢体会并加以模仿，逐步掌握自我监控的技能.

[?] 注意运算能力的培养

江苏省2013年数学《考试说明》对运算求解能力的考查有明确要求：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算. 虽然一线教师也清楚运算能力的重要性，并作出了不少的努力，但从阅卷情况来看，学生的运算能力仍然存在很大问题，应该说学生运算能力的培养“任重而道远”.

第18题 如图2，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min. 在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cosA=，cosC=.

本题原型来源于课本，语言通俗易懂，建模难度不大. 笔者阅卷发现，许多学生题意是理解了，运算能力却不过关，导致失分.由上述参考解答可以看出，本题运算量并不太大，只是运算步骤略多，有些数据看上去比较复杂. 学生看到大一点、复杂一点的数据，就没有信心算下去了.

运算能力的培养是一个大课题，限于水平，笔者仅就非智力因素方面提几点建议，供大家参考.

1. 树立正确的数学运算观

数学运算能力是数学能力的重要组成部分，是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合. 一些学生把“运算”错误地看成“死算”，不需要动脑筋，是纯粹的“体力活”，做题目只注重研究思路，而不动手算一遍，从而导致在解题中“眼高手低”，久而久之，在考试中“一算就错”、“会而不对，对而不全”的现象时有发生. 学生对运算的错误认识，直接影响了自身运算能力的提高.要改变这些现状，就要经常强调“动手算”的重要性. 只有亲自算一遍，才能知道哪些地方被卡住算不下去；只有亲自算一遍，才能体会其中的一些算理、技巧、难点.

2. 改进教学，让学生乐于运算

在许多学生眼里，数学运算是枯燥无味的. 在教学中，教师可通过设疑置难，使学生的思维经常处于“心愤愤口悱悱”的状态，从而激发学生的求知欲. 例如，教师在运算时，偶尔故意写错一些步骤或者假装算不下去等，启发学生去发现错误或帮助教师算下去，而学生因为有发现教师错误的机会，或者胜过教师的机会，则会对相应的题目变得感兴趣，从而全身心投入到运算中去；也可在教学中进行各种解题比赛，让学生和其他学生比，甚至和教师比，以此激发学生兴趣，使他们乐于运算.

3. 培养学生良好的意志品质

在解题中，一些学生一旦碰到复杂一点的运算，就“举手投降”， 意志品质薄弱. 李明振对意志品质与学生数学学业成绩的关系作了研究，并得出结论：意志品质水平的高低与学生数学学业成绩的优劣有着极为密切的内在联系，即成绩优秀组学生的各项意志品质的均分均高于成绩不良组学生各项意志品质的均分；对学业成绩影响较显著的两种意志品质为自觉性和坚持性. 培养学生良好的意志品质，教师要在学生的自觉性和坚持性上下工夫.尤其是坚持性，教师可有意识地选择运算繁一点的题目加以训练，鼓励学生敢于运算，迎难而上，永不言弃.

4. 注意解题书写的规范性

规范书写，这是一个老生常谈的话题，也是一个怎么强调都不为过的问题.这里的“规范”有两层含义，一是态度上要认真，二是表述要到位.

认真书写，卷面整洁，让阅卷教师非常容易地看清楚答案，确保不被误判. 虽然高考阅卷有2评、3评，但若学生写得太潦草了，几个教师都看不清的概率还是存在的. 不光作文有印象分，数学也有，并不是我们想象那样，数学一定不是对就是错.因为解答题的评分有允许误差，为了尽可能确保所评阅试卷与其他教师成功配对，阅卷教师往往在能确认给分的基础上，根据允许的误差作适当的浮动. 如果考生能把过程写得规范、易认，那自然容易得到评卷教师的认可，适当加分的几率就增大；反之，如果学生写的内容要阅卷教师仔细辨认一番才能确认正确与否，自然不容易被认可，被扣分的几率就增大.

本题评分时主要看两个结论，A-1正确得5分，A-1B正确得5分；其中矩阵中四个数字对3个得3分；若A-1求错，则不往下看. 按理说，本题比较简单，评分标准明确，应该是一道好改的题，而事实并非如此，在评卷过程中出现了许多意想不到的问题，特别是由于书写不规范而导致被扣分的情形令人记忆犹新. 主要有两种情形，一是学生将矩阵符号写成竖线（行列式），二是将“A-1=”中等号写得太短，看上去像冒号. 在制定评分标准时，专家认为如果连最基本的书写都马虎的话，就不具备进一步深造的素质，这两种情形相应步骤的得分全部扣去. 阅卷时笔者就发现有一考生结论全对而得了零分，就是因为将等号写成了冒号，可怜且可恨！

sinα+sinβ=1 后就直接写出答案，阅卷教师看不出解方程的思路和过程从而扣分. 南师大宁连华教授强调，解答题的过程一定要突出关键，要让人看得清解题思路在哪里，不能只是看看、猜猜，关键处要说明理由，本题尤其强调计算推理过程，绝不能跳步骤.

另外，立体几何的解答也是书写不规范的重灾区. 许多学生“想当然”，乱用条件，有部分学生把由图看出的结论直接拿来当条件使用，或者用结论推条件再证明结论而出现循环论证等等. 南师大葛军教授认为，规范的书写应该包含以下几方面的要求：（1）正确，逻辑上没有问题；（2）表述简明；（3）符合文本格式.其中，最重要的是一定要正确，但考生立体几何书写笔误较多. 2013年高考阅卷不承认笔误，若某个步骤出现笔误，则后续解题不得分.

解答题的书写是许多学生的薄弱环节，教师在平时的教学过程中，“花点时间”让学生练习规范书写也是值得的，对于一道题，可以尝试让学生多写几遍，最终再与比较规范的书写对照，找出问题所在，反复练习，最终使学生潜移默化地养成规范书写的习惯.