函数的周期性、对称性及其应用

朱洪家

一、函数周期性的定义及其性质

定义：一般的，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫这个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫最小正周期，这里所说的是周期指函数的最小正周期。

性质：1.若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，是b-a它的周期。

证明：∵f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

用x-a代替x得：f（x）=f（x-a+b）=f（x+b-a）

∴f（x）的周期为b-a。

2.若f（x+a）=-f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=-f（x）

用x-a代替x得：f（x-a+a）=-f（x-a），即f（x）=-f（x-a）

∴f（x+a）=f（x-a），由性质1得f（x）的周期是2a。

3.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=■=■=f（x-a）

由性質1得f（x）的周期是2a。

4.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠1），则f（x）是周期函数，4 a是它的周期。

证明：f（x+2a）=f（x+a+a）=■=■=■

由性质3得f（x）的周期是4a。

二、函数的对称性

一般的，对于函数法f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值：

若f（x+a）=f（b-x），则函数f（x）的图象关于直线x=■对称，特别的，若f（a+x）=f（a-x）函数的图象关于直线x=a对称。

若f（x+a）=-f（b-x），则函数f（x）的图象关于点（■，0）成中心对称，特别的，若f（x+a）=-f（a-x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称。

三、周期性与对称性的相互联系

函数的周期性与对称性是相互联系，密切相关的，一般的：

1.若f（x）的图象有两条对称轴x=a和x=b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2b-a是它的周期。

证明：由x=a是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2a-x）

又由x=b是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2b-x）

∴f（2a-x）=f（2b-x）=f[2a-x+（2b-2a））]

即f（x）=f[x-2（b-a）]∴f（x）的周期是2b-a

2.若f（x）的图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2b-a是它的周期。

证明：由（a，0）是f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2a-x）

又由（b，0）是f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2b-x）

∴f（2a-x）=f（2b-x）

∴f（x）的周期是2b-a

3.若f（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4b-a是它的周期。

证明：由x=a是f（x）的对称轴，则f（x）=f（2a-x）

又由（b，0）上f（x）的对称中心，则f（x）=-f（2b-x）

∴f（2a-x）=-f（2b-x）

∴f（x）=-f（2b-2a+x）

∴f（x）的周期是4b-a

四、应用

例1.已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-■，0）对称，且满足f（x）=-f（x+■），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+ f（3）+…+f（2007）的值为（ ）

A.-2 B.2

C.0 D.1

解析：∴f（x）的图象关于点（-■，0）对称，∴f（x）=-f（-x-■），又f（x）=-f（x+■）∴f（-x-■）=f（x+■），即f（x）为偶数又f（x+3）=-f[（x+3）+■]=-f（x+■）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数，∴f（1）= f（-1）=1，f（0）=f（3）=-2，f（2）=f（-1）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）=f（1）+f（2）+f（3）=0，故选C.

例2.对函数f（x），当x∈（-∞，+∞）时，f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）

在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性。

（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

解析：（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2-x）=f（2+x）得函数y=f（x）的对称轴为x=2，∴f（-1）=f（5）≠0，∴f（-1）≠f（1），f（x）不是偶函数。故函数y=f（x）是非奇非偶函数。

（2）由f（2-x）=f（2+x）f（7-x）=f（7+x）？圳f（x）=f（4-x）f（x）-f（14-x）？圳f（4-x）=f（14-x）？圳f（x）=f（x+10），从而知y=f（x）的周期是10，又f（3）=f（1）=0， f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0，故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有两个解。从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解。

（作者单位 江苏省阜宁第一高级中学）

？誗编辑 李燕燕