一道高考题引发的课后反思

李素文

一、出示题目，激发思考

题目1.（2011年江西14）若椭圆■+■=1的焦点在x轴上，过点P（1，■）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________________。

看到題目，学生思维灵活，提出了多种求解思路。学生1提出，

思路一：要得到椭圆的方程，只需求得直线AB的方程。借助图形，可得x=1为圆的一条切线，进而可得A的坐标（1，0）。问题进一步转化为，只需求出B点的坐标，利用点斜式方程设出直线PB的方程：y=k（x-1）+■，根据原点到直线PB的距离等于半径1，找到kPB，进而联立直线PB的方程和圆的方程，求出B的坐标。

解法（略）。

学生普遍认为这种方法比较繁琐，因而学生2进行了优化，过程如下：

思路二：设B（x0，y0），利用kPB·kOB=-1，进而列式■·■=-1x20+y20=1，求得B点的坐标。

按这种方式解决问题，步骤上会简化些，但毕竟要解二元二次方程组，学生觉得仍然麻烦。于是学生3提出如下思路：

思路三：先求∠AOP的正切值为■，利用二倍角公式求tan∠AOB=■，设B（x0，y0），得到■=■，联立■=■x20+y20=1，求得出B的坐标。

虽然学生3的计算较之学生2，已经简洁不少，但始终摆脱不了解二元二次方程组。于是，我启发学生，求直线AB的方程，除了我们在直线的方程一节中讲到的知识，结合题目，想想还有没有别的方法求直线的方程？

学生4想到圆与圆的交线，于是就有如下的方法：

思路四：分析可知直线AB为圆x2+y2=1与以（1，■）为圆心， ■为半径的圆的公共弦.由（x-1）2+（y-■）2=■与x2+y2=1相减得直线AB方程为：2x+y-2=0.令x=0，解得y=2，∴b=2，又c=1，∴a2=5，故所求椭圆方程为：■+■=1.

学生4的方法借助于数形结合，不只停留在利用两点，一点和斜率求直线的方程的层次上，而是联系与之相关的圆的知识解决问题，很简洁地解决了问题。

二、课后反思，引发思考

课后，对于这节课我又重新进行了思考，学生为什么一看到求直线的方程，就采用直线的五种基本形式去做？为什么思路不够开阔？我认真地想想，首先说明学生对于用直线的五种形式掌握得非常好，同时，学生的能力相对来说比较差。人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。丰富的知识并加以优化的结构，能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。

另外，我想到，2012年-2013年第二学期期初检测试卷中附加题23（1）。

题目2.设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=-m（m>0）上任意一点，过M点作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为 A，B.当m=3时，求证：直线AB横过定点。

分析：此题本质是求出直线AB的方程，然后再来寻找过的定点。当时解决的方法就是设而不求地方法。对于过抛物线外一点作抛物线的切线，求两切点确定的直线的方程，我们针对抛物线 x2=2py（p>0）来推导，得到一般性的结论。

结论1：过抛物线x2=2py（p>0）外的一点M（x0，y0）作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为xx0=p（y+y0）。

证：设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x12=2py1，x22=2py2，y∵=■x2，∴y′=■x直线MA的方程为：y-y1=■x1（x-x1），直线MB的方程为：y-y2=■x2（x-x2）.∵点M（x0，y0）在直线MA、直线MB上，∴y0-y1=■x1（x0-x1），∴y0-y2=■x2（x0-x2），∴y1-■x1x0+y0=0，y2-■x2x0+y0=0，

∵（x1，y1）（x2，y2）同时满足方程，∴y-■xx0+y0=0，

∴直线AB的方程为：xx0=p（y+y0）。

这种方法设出A，B点的坐标，变量很多，但是我们在做此题的过程中，采用设而不求的方法，得到直线MA、直线MB方程，再利用两式结构上的一致性，从而求出直线AB的方程。

那么过平面外一点作圆的切线，求两切点确定的直线的方程，能否也可以利用设而不求的方法呢？

题目3.过圆O：x2+y2=r2外的一点M（x0，y0）作圆O的切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x12+y12=r2，x22+y22=r2，则直线MA的方程为：x1x+y1y=r2，直线MB的方程为：x2x+y2y=r2，

∵点M（x0，y0）在直线MA、直线MB上，

∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

∵（x1，y1），（x2，y2）同时满足方程：xx0+yy0=r2，

直线AB的方程为：xx0+yy0=r2.

由此推广得到

结论2：过圆O：（x-a）2+（y-b）2=r2外的一点M（x0，y0）作圆O的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为：（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2.

三、思考总结，形成结论

实际上，上述结论对圆锥曲线也成立：

（1）设P（x0，y0）是椭圆C：■+■=1（a>b>0）外一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为■+■=1；

（2）设P（x0，y0）是双曲线C：■-■=1（a>b>0）外一点，过点P作双曲线C的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为■-■=1；

③设P（x0，y0）是抛物线C：y2=2px（p>0）外一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为yy0=p（x+x0）。

（作者单位 江苏省南京市程桥高级中学）

？誗编辑 李燕燕