由点及面，让系统化知识动态化

张丽娟

《三角形的认识》是人教版四年级下册的内容，是一节较为特殊的教学内容。之所以特殊，是因为教材中对三角形的知识要素有一个系统的梳理，学生能对三角形有较为全面的认识。在教学本课时，笔者参考了很多的教学设计，发现大多将课堂关注点放在三角形的高的作法上面，对于高和三角形的动态联系揭示得不够。

为此，笔者查阅了大量资料，并深入研读教材，把握好垂直、平行、做高等旧有知识结构，根据学生的认知规律，领着学生步步深入，探究锐角、直角、钝角三角形与高的动态脉络，建立系统的三角形知识结构。

一、 复习旧知，建立线面表象

在学习三角形之前，学生已经对平面图形中的平行线，点到直线的距离，平行线间的距离都有了学习基础，也建立过相关的数学活动经验。但这些知识当时学习的时候是较为零星分散的，不能和具体的图形建立相关的联系。据此，我依据数学知识的系统化考量，串联起旧知，建立一个与旧知动态链接的知识流程，让学生犹如漫步丛林，见木又见林。

我先以直线、点到直线的距离、平行线为线索，引导学生进行复习，并逐渐呈现三角形的形成表象。

师：请过A，B两点画一条直线。（生作画直线AB）

学生有了直线的表象后，我让学生过直线外一点C，作出从点C到直线AB的距离。这是之前的学习知识，学生可以一点点将其串联起来。

1.画出C点到直线AB的距离，也就是点C向直线AB画垂直线段。（如下图）

[C][B][A]

2.再作画：过直线AB外一点C，画直线AB的平行线。（如下图）

[C][B][A]

3.在直线AB的平行线上取两点，画出两条平行线间的距离。（如下图）

[C][B][A] [C1][C2]

思考，这些线段有什么关系？（学生根据平行线间距离相等的理论，理解这三条线段相等）

通过旧知的复习，可以有效将三角形的高、等底等高三角形等知识系统建构起来，为下一步整体动态呈现提供了学习的依据，奠定了基础认知的保证。

将旧知让学生复习过后，我由此引入新知：如果用直的线段连接AC、BC那么组成了什么图形？（如下图）

[C][B][A]

学生通过动手作画实践操作，对三角形的动态形成过程，有了一个初步的表象。

二、 理解高的概念，动态建构知识系统

根据建构主义理论，数学知识的建立是从经验开始的。学生数学经验的建立，有赖于完整的体验过程。教学中，我抓住三角形的高这一个知识点，让学生体验高的变化，据此建构锐角、钝角、直角三角形的概念。

在三角形高的概念中，有两个难点：一是让学生理解高是什么，如何画垂直；二是与旧知连接，理解高与“过直线外一点到直线的距离”的关系，为此，我分了两个层次进行教学。

（1）我让学生观察上述三角形：点C到AB之间的距离是怎么画的呢？学生进行交流判断，有人认为这是一条线段，是垂直的线段，

（2）点C到直线AB的距离这条线段是三角形中的高吗？线段AB是三角形的底吗？

通过两个层次的渗透，学生从平面的系统建构中，完成了对三角形的认知，包括三角形的高、三角形的底，都有了清晰的概念。这样就能够对高的垂直有直观的体验，从点到直线的距离这个层面来理解垂直、理解高。

学生的目光被引入到三角形的图形中来，高就是图形中一个有机的变化因素，高分为两种，一种在三角形外，一种在三角形内，如何让学生理解高的内外之分，我从整体把握，抓住高的变化，让学生更深入理解高所引发的三角形的系统变化。

师：在三角形ABC中，AB边上的高是哪里？∠A是锐角还是钝角？在三角形里边还是外边？如果三角形ABC的顶点C在底边AB的平行线上左右移动，就可以变成新的三角形（如下图），那么请想象一下两个三角形的高相等吗？为什么？（学生根据平行线间距离相等，理解了两个三角形的高不变，而底也不变，但根据观察却发现，当点C向右移动到新位置时，高的垂足距离原来的垂足有了变化，变化就在于垂足距离点B越来越近，而此刻∠B发生了变化。那么∠B发生的变化能让学生得到什么呢？

[C][B][A]

在一步步的动态引导下，学生从平面知识的点、线、面一点点深入到三角形的“面”中，体会面的变化，激发了探究新知的热情和兴趣。

三、 体验角的变化，建立空间想象

在学生对三角形的高有了把握之后，我继续引导学生体验角的变化，从而建立锐角、直角、钝角及相关的知识系统。

师：如果现在我们继续让点C向右移动，一直移动，大家想想一下，AB边上的高的垂足点会在哪里？（学生想象并用手比划）而后我拉动画板，学生在动态演示下，看到垂足在不断靠近三角形ABC的B点。那么，将会发生什么情况呢？

生：我猜想垂足点会和B点重合。

生：我猜想角B也会变成直角。

我让学生动手操作，拉动画板，验证学生的猜测（如下图）这时三角形AB边上的高就是另一条直角边BC，三角形ABC就变成了直角三角形。

[C][B][A]

师：继续移动，想象下还会有什么变化？三角形会变成什么模样？高会在哪里？

生1：∠B会变大。

生2：高会在三角形的外面。

我让学生继续操作（如下图）并集体交流，学生看到了整个移动过程，体验并见证了三角形由点C开始在平行线上向右不断移动的变化，从高的变化再到角的变化，借此建构了平面图形中三角形的系统知识，有了动态的联系，对三角形的高、分类，等底等高都有了直观的认知。

[C][B][A]

在三角形的认识教学中，我从旧知的点逐渐辐射，引导学生从线段到平面，再从平面内的动态演绎，将三角形中的静态知识做了动态的系统化演绎，学生仿佛在森林中探险，不断会发现数学知识的盘根错节，体验数学知识的奥秘，而这正是数学课堂所特有的魅力所在。endprint

《三角形的认识》是人教版四年级下册的内容，是一节较为特殊的教学内容。之所以特殊，是因为教材中对三角形的知识要素有一个系统的梳理，学生能对三角形有较为全面的认识。在教学本课时，笔者参考了很多的教学设计，发现大多将课堂关注点放在三角形的高的作法上面，对于高和三角形的动态联系揭示得不够。

为此，笔者查阅了大量资料，并深入研读教材，把握好垂直、平行、做高等旧有知识结构，根据学生的认知规律，领着学生步步深入，探究锐角、直角、钝角三角形与高的动态脉络，建立系统的三角形知识结构。

一、 复习旧知，建立线面表象

在学习三角形之前，学生已经对平面图形中的平行线，点到直线的距离，平行线间的距离都有了学习基础，也建立过相关的数学活动经验。但这些知识当时学习的时候是较为零星分散的，不能和具体的图形建立相关的联系。据此，我依据数学知识的系统化考量，串联起旧知，建立一个与旧知动态链接的知识流程，让学生犹如漫步丛林，见木又见林。

我先以直线、点到直线的距离、平行线为线索，引导学生进行复习，并逐渐呈现三角形的形成表象。

师：请过A，B两点画一条直线。（生作画直线AB）

学生有了直线的表象后，我让学生过直线外一点C，作出从点C到直线AB的距离。这是之前的学习知识，学生可以一点点将其串联起来。

1.画出C点到直线AB的距离，也就是点C向直线AB画垂直线段。（如下图）

[C][B][A]

2.再作画：过直线AB外一点C，画直线AB的平行线。（如下图）

[C][B][A]

3.在直线AB的平行线上取两点，画出两条平行线间的距离。（如下图）

[C][B][A] [C1][C2]

思考，这些线段有什么关系？（学生根据平行线间距离相等的理论，理解这三条线段相等）

通过旧知的复习，可以有效将三角形的高、等底等高三角形等知识系统建构起来，为下一步整体动态呈现提供了学习的依据，奠定了基础认知的保证。

将旧知让学生复习过后，我由此引入新知：如果用直的线段连接AC、BC那么组成了什么图形？（如下图）

[C][B][A]

学生通过动手作画实践操作，对三角形的动态形成过程，有了一个初步的表象。

二、 理解高的概念，动态建构知识系统

根据建构主义理论，数学知识的建立是从经验开始的。学生数学经验的建立，有赖于完整的体验过程。教学中，我抓住三角形的高这一个知识点，让学生体验高的变化，据此建构锐角、钝角、直角三角形的概念。

在三角形高的概念中，有两个难点：一是让学生理解高是什么，如何画垂直；二是与旧知连接，理解高与“过直线外一点到直线的距离”的关系，为此，我分了两个层次进行教学。

（1）我让学生观察上述三角形：点C到AB之间的距离是怎么画的呢？学生进行交流判断，有人认为这是一条线段，是垂直的线段，

（2）点C到直线AB的距离这条线段是三角形中的高吗？线段AB是三角形的底吗？

通过两个层次的渗透，学生从平面的系统建构中，完成了对三角形的认知，包括三角形的高、三角形的底，都有了清晰的概念。这样就能够对高的垂直有直观的体验，从点到直线的距离这个层面来理解垂直、理解高。

学生的目光被引入到三角形的图形中来，高就是图形中一个有机的变化因素，高分为两种，一种在三角形外，一种在三角形内，如何让学生理解高的内外之分，我从整体把握，抓住高的变化，让学生更深入理解高所引发的三角形的系统变化。

师：在三角形ABC中，AB边上的高是哪里？∠A是锐角还是钝角？在三角形里边还是外边？如果三角形ABC的顶点C在底边AB的平行线上左右移动，就可以变成新的三角形（如下图），那么请想象一下两个三角形的高相等吗？为什么？（学生根据平行线间距离相等，理解了两个三角形的高不变，而底也不变，但根据观察却发现，当点C向右移动到新位置时，高的垂足距离原来的垂足有了变化，变化就在于垂足距离点B越来越近，而此刻∠B发生了变化。那么∠B发生的变化能让学生得到什么呢？

[C][B][A]

在一步步的动态引导下，学生从平面知识的点、线、面一点点深入到三角形的“面”中，体会面的变化，激发了探究新知的热情和兴趣。

三、 体验角的变化，建立空间想象

在学生对三角形的高有了把握之后，我继续引导学生体验角的变化，从而建立锐角、直角、钝角及相关的知识系统。

师：如果现在我们继续让点C向右移动，一直移动，大家想想一下，AB边上的高的垂足点会在哪里？（学生想象并用手比划）而后我拉动画板，学生在动态演示下，看到垂足在不断靠近三角形ABC的B点。那么，将会发生什么情况呢？

生：我猜想垂足点会和B点重合。

生：我猜想角B也会变成直角。

我让学生动手操作，拉动画板，验证学生的猜测（如下图）这时三角形AB边上的高就是另一条直角边BC，三角形ABC就变成了直角三角形。

[C][B][A]

师：继续移动，想象下还会有什么变化？三角形会变成什么模样？高会在哪里？

生1：∠B会变大。

生2：高会在三角形的外面。

我让学生继续操作（如下图）并集体交流，学生看到了整个移动过程，体验并见证了三角形由点C开始在平行线上向右不断移动的变化，从高的变化再到角的变化，借此建构了平面图形中三角形的系统知识，有了动态的联系，对三角形的高、分类，等底等高都有了直观的认知。

[C][B][A]

在三角形的认识教学中，我从旧知的点逐渐辐射，引导学生从线段到平面，再从平面内的动态演绎，将三角形中的静态知识做了动态的系统化演绎，学生仿佛在森林中探险，不断会发现数学知识的盘根错节，体验数学知识的奥秘，而这正是数学课堂所特有的魅力所在。endprint

《三角形的认识》是人教版四年级下册的内容，是一节较为特殊的教学内容。之所以特殊，是因为教材中对三角形的知识要素有一个系统的梳理，学生能对三角形有较为全面的认识。在教学本课时，笔者参考了很多的教学设计，发现大多将课堂关注点放在三角形的高的作法上面，对于高和三角形的动态联系揭示得不够。

为此，笔者查阅了大量资料，并深入研读教材，把握好垂直、平行、做高等旧有知识结构，根据学生的认知规律，领着学生步步深入，探究锐角、直角、钝角三角形与高的动态脉络，建立系统的三角形知识结构。

一、 复习旧知，建立线面表象

在学习三角形之前，学生已经对平面图形中的平行线，点到直线的距离，平行线间的距离都有了学习基础，也建立过相关的数学活动经验。但这些知识当时学习的时候是较为零星分散的，不能和具体的图形建立相关的联系。据此，我依据数学知识的系统化考量，串联起旧知，建立一个与旧知动态链接的知识流程，让学生犹如漫步丛林，见木又见林。

我先以直线、点到直线的距离、平行线为线索，引导学生进行复习，并逐渐呈现三角形的形成表象。

师：请过A，B两点画一条直线。（生作画直线AB）

学生有了直线的表象后，我让学生过直线外一点C，作出从点C到直线AB的距离。这是之前的学习知识，学生可以一点点将其串联起来。

1.画出C点到直线AB的距离，也就是点C向直线AB画垂直线段。（如下图）

[C][B][A]

2.再作画：过直线AB外一点C，画直线AB的平行线。（如下图）

[C][B][A]

3.在直线AB的平行线上取两点，画出两条平行线间的距离。（如下图）

[C][B][A] [C1][C2]

思考，这些线段有什么关系？（学生根据平行线间距离相等的理论，理解这三条线段相等）

通过旧知的复习，可以有效将三角形的高、等底等高三角形等知识系统建构起来，为下一步整体动态呈现提供了学习的依据，奠定了基础认知的保证。

将旧知让学生复习过后，我由此引入新知：如果用直的线段连接AC、BC那么组成了什么图形？（如下图）

[C][B][A]

学生通过动手作画实践操作，对三角形的动态形成过程，有了一个初步的表象。

二、 理解高的概念，动态建构知识系统

根据建构主义理论，数学知识的建立是从经验开始的。学生数学经验的建立，有赖于完整的体验过程。教学中，我抓住三角形的高这一个知识点，让学生体验高的变化，据此建构锐角、钝角、直角三角形的概念。

在三角形高的概念中，有两个难点：一是让学生理解高是什么，如何画垂直；二是与旧知连接，理解高与“过直线外一点到直线的距离”的关系，为此，我分了两个层次进行教学。

（1）我让学生观察上述三角形：点C到AB之间的距离是怎么画的呢？学生进行交流判断，有人认为这是一条线段，是垂直的线段，

（2）点C到直线AB的距离这条线段是三角形中的高吗？线段AB是三角形的底吗？

通过两个层次的渗透，学生从平面的系统建构中，完成了对三角形的认知，包括三角形的高、三角形的底，都有了清晰的概念。这样就能够对高的垂直有直观的体验，从点到直线的距离这个层面来理解垂直、理解高。

学生的目光被引入到三角形的图形中来，高就是图形中一个有机的变化因素，高分为两种，一种在三角形外，一种在三角形内，如何让学生理解高的内外之分，我从整体把握，抓住高的变化，让学生更深入理解高所引发的三角形的系统变化。

师：在三角形ABC中，AB边上的高是哪里？∠A是锐角还是钝角？在三角形里边还是外边？如果三角形ABC的顶点C在底边AB的平行线上左右移动，就可以变成新的三角形（如下图），那么请想象一下两个三角形的高相等吗？为什么？（学生根据平行线间距离相等，理解了两个三角形的高不变，而底也不变，但根据观察却发现，当点C向右移动到新位置时，高的垂足距离原来的垂足有了变化，变化就在于垂足距离点B越来越近，而此刻∠B发生了变化。那么∠B发生的变化能让学生得到什么呢？

[C][B][A]

在一步步的动态引导下，学生从平面知识的点、线、面一点点深入到三角形的“面”中，体会面的变化，激发了探究新知的热情和兴趣。

三、 体验角的变化，建立空间想象

在学生对三角形的高有了把握之后，我继续引导学生体验角的变化，从而建立锐角、直角、钝角及相关的知识系统。

师：如果现在我们继续让点C向右移动，一直移动，大家想想一下，AB边上的高的垂足点会在哪里？（学生想象并用手比划）而后我拉动画板，学生在动态演示下，看到垂足在不断靠近三角形ABC的B点。那么，将会发生什么情况呢？

生：我猜想垂足点会和B点重合。

生：我猜想角B也会变成直角。

我让学生动手操作，拉动画板，验证学生的猜测（如下图）这时三角形AB边上的高就是另一条直角边BC，三角形ABC就变成了直角三角形。

[C][B][A]

师：继续移动，想象下还会有什么变化？三角形会变成什么模样？高会在哪里？

生1：∠B会变大。

生2：高会在三角形的外面。

我让学生继续操作（如下图）并集体交流，学生看到了整个移动过程，体验并见证了三角形由点C开始在平行线上向右不断移动的变化，从高的变化再到角的变化，借此建构了平面图形中三角形的系统知识，有了动态的联系，对三角形的高、分类，等底等高都有了直观的认知。

[C][B][A]

在三角形的认识教学中，我从旧知的点逐渐辐射，引导学生从线段到平面，再从平面内的动态演绎，将三角形中的静态知识做了动态的系统化演绎，学生仿佛在森林中探险，不断会发现数学知识的盘根错节，体验数学知识的奥秘，而这正是数学课堂所特有的魅力所在。endprint