例谈导数在函数问题中的应用

宋宇逸 欧丽梅

【摘要】函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.导数不仅是一个特殊函数，而且也是分析和解决问题的有效工具.导数进入高中数学教材之后，给传统的高中数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题的研究提供了新视角、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间，新课标提出了更高的要求.函数与导数的关系问题便成为了近年来高考的亮点、热点问题，真可谓函数因导数而精彩.

【关键词】单调性；单调区间；极值；最值；不等式

【基金项目】本文系“来宾市教育科学“十二五”规划A类课题”（项目编号：LBJK2012A019）的研究成果之一

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，其思想方法贯穿于高中数学课程的始终，是高中数学的主干知识.导数进入高中数学教材之后，给传统的高中数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题（如函数问题、不等式问题、解析几何问题等）的研究提供了新视角、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间，真可谓函数因导数而精彩.高中总复习阶段在函数这一单元模块教学中，常常利用导数可以解决函数中的四大热点问题：求函数的单调性、单调区间；求函数的极值；求函数的最值；利用函数的单调性证明不等式.

导数是一个特殊函数，它的给出和定义始终贯穿着函数思想.自从2000年广西高中采用新教材、新课程标准以来，就增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时不可缺少的工具，也是高考的热点.近年来很多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质来考查学生的创新能力和探究能力的试题.本人结合教学实践，就导数在函数中的应用进行了初步探究.

一、利用导数求函数在某点处的切线及斜率

例1 （2011年江西省数学高考文科试题）曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为（ ）.

A.1 B.2 C.e D.1e

分析 y′=ex，当x=0时，y′=e0=1，故选A.

二、利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间

例2 （2008福建高考题）已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图像过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图像关于轴对称.

（1）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间.

（2）若a>0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值.

分析 （1）由f（x）过点（-1，-6）及g（x）的图像关于y轴对称可求m，n.由f′（x）>0，f′（x）<0可求单调增区间和减区间.

（2）先求出函数f（x）的极值点，再根据极值点是否在区间（a-1，a+1）内进行讨论.

切注：在解答第（2）问的过程中容易出现遗漏“a=1”的情况或把a=1 归入0

三、利用导数求函数的极值

例3 （2011年浙江省数学高考理科试题）设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a ；（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

分析 对于第（1）小题比较容易解决.由f′（e）=0，可求得a=e或a=3e，再检验即可.

对于第（2）小题是常见的含参数不等式恒成立求参数范围问题，注意到当x∈（0，1]时不等式恒成立，因而等价于当x∈（1，3e]时，不等式（x-a）2 lnx≤4e2恒成立.

思路1：先特殊化，由f（3e）≤4e2，得

实数a的取值范围为3e-2eln3e≤a≤3e+2eln3e

再求f（x）的最大值，为此讨论f（x）的单调性，而又需构造辅助函数通过估计零点，从而解决问题，但解题过程曲折繁冗.

思路2：由lnx>0，可参数分离.又转化为当x∈（1，3e]时，不等式a≥x-2elnx及a≤x+2elnx都恒成立，于是问题可转化为求函数g（x）=x-2elnx （1

思路3：将不等式化为（x-a）24e2≤1lnx，问题转化为当x∈（1，3e]时，函数g（x）=（x-a）24e2的图像在h（x）=1lnx图像的下方，然后利用数形结合思想，便可得到结论.

本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力和分析、解决问题的能力.三种解法的共性是都利用了化归思想与函数思想，但转化的手段迥异，思路1直接转化为求f（x）的最大值；思路2则通过变形（参数分离）转化为求2个易求最值的函数的最值；思路3则通过恰当变形转化为2个图像的关系.很多省份的导数压轴题都有不同的解法，旨在考查不同思维层次的考生的不同思维水平，使试卷具有较高的区分度.

四、利用导数求函数的最值

例4 求函数 f（x）=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值.

分析 f′（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1），

令f′（x）=0得 x=2，x=-1（舍去）

比较下列函数值：f（2）=-15 ； f（0）=5；f（3）=-4.

得出函数f（x）的最大值为5 ； 最小值为-15.

切注 这里容易出现f（-1）=12 为函数的最大值，主要原因是没有看清题目的条件所致.

小结 求函数在某闭区间上的最值的步骤是：

（1）求出f′（x）；

（2）令f′（x）=0，解出函数的所有驻点；

（3）求出函数在所有驻点和边界点处的函数值，其中最大者即为函数的最大值，其中最小者即为函数的最小值.

五、利用函数的单调性证明不等式

例5 已知x>1，证明不等式x>ln（1+x）.

分析 设f（x）=x-ln（1+x），x>1.

f′（x）=1-1x+1=xx+1，由x>1知f′（x）>0.

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数，又f（1）=1-ln2>0.

∴f（x）>0，即x>ln（1+x），（ x>1）

这道题的证明需要构造恰当的辅助函数，从而转化利用函数的单调性来实现证明.另外对于含参数的不等式求解、含参数的不等式恒成立等等问题也是高考考查的热点，解决这些问题均需要构造恰当的辅助函数，转化为前面四大问题来解决.函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题、利用函数的单调性证明不等式.在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识.只有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出概念的理解和运用，突出思维能力的培养，才能真正提高学生的数学素质.教学中应做到“三性”，即对知识理解的深刻性、掌握的全面性、运用的灵活性，以使学生形成综合性的知识体系.只有在课堂上适度地让学生探究，才能让学生适应高考的新问题.导数问题在很多省份的高考试卷中处于压轴题的位置，需要考生在新的情景中灵活运用知识、方法解决问题，对学生的数学能力和数学素质提出了很高的要求.这昭示我们：高三数学复习应注意培养学生对问题分析的态度及探究的目光，从人的可持续发展所需要的能力来看，这是十分必要的.在教学中，引入条件或结论具有开放性的问题和某些从实际生活中提出的自己寻求答案的问题，或者对课堂上的某些问题适当加以延伸、推广等，并引导学生加以解决，这会使课堂教学充满生机和活力，有利于学生思维能力得到提升.

有人说，高考是残酷的，是因为千军万马过独木桥造成的，同学们，不妨把它当作一次身心的考验吧，经过了汗水和泪水的洗礼，你的人生也将从此步入一个崭新的阶段，希望很多年之后.回想起这段所做的努力，你会欣然一笑——一切都是值得的.