反例在数学教学中的作用

张俊

【摘要】在数学的天地里，证明和反例共同构成了壮观的数学大厦，作为问题另一方面的反例往往随着命题的否定而被遗忘.在教学过程中，教师对反例作用重视不够，教材中提到的也很少，其实反例同证明一样，在数学学习中具有同样重要作用.

【关键词】反例；作用；数学教学

数学中的反例，是指命题的条件符合而结论不符合例子.在数学发展的过程中，思维方式上我认为反例同证明一样重要.美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出 ：“ 冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类——证明与反例组成，而数学的发展也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”

当前，教师和学生对反例作用不够重视，教材上关于反例的说明也较少，同学们大多不清楚反例的作用.其实，数学学习的过程，一般用的思维方式是直接思维，而直接思维并不严密，所以直接思维下的猜想可能伴有差错.此时，适当地引导学生发现反例，就可以修改学习过程中因猜想带来的错误结论.教学过程中，克服思维定式的有效办法可以通过反例，这样学生的创造力和发散思维能力就能得到培养.

一、反例有利于深刻理解概念

数学概念本身是抽象的，在引入概念后，还必须有一个去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的深化.需对概念作辩证分析，用不同的方式揭示概念的本质属性.通过列举或构造反例，往往能从反方面消除一些容易出现的错误认识，把握概念的要素和本质.教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息.

例： 在学习过数列极限的ε-N定义后，可以提出：

若对任意的ε>0，存在 N>0，当n>N时，{xn}中有无穷多项满足：

|xn- A|<ε，是否有 limn→∞xn=A ？答案是否定的.

对数列极限概念，我们往往忽视“{xn}中所有项满足|xn- A|<ε”这一条件，误认为“{xn}中有多项满足：|xn- A|<ε就可以了”.对此，可举反例如下：

设xn=1+（-1）n-1，则：

对任意的ε>0，有 |x2k-0|=0<ε.又因为 limk→∞x2k+1≠0.故该数列无极限.

二、反例有利于明确、牢记定理的应用条件与范围

数学中有许多定理结构复杂，条件结论犬牙相制，我们理解起来有困难.而反例可以把定理中的条件结论之间的关系显示清楚，也可说明定理正确的使用范围，加深记忆.

例 在罗尔中值定理中，若[a，b]上的函数f（x）满足三条件中的任意两个，试问：有没有同样的结论呢？

如 令f（x）=1-|x|，（-1≤x≤1）.

则f（x）在闭区间[-1，1]上连续，且f（-1）=f（1）=0，即满足定理条件的（Ⅰ）和（Ⅲ），还有对（-1，1）中除x=0外所有x，f′（x）存在且有限.

有f′（x）=-1，0

1，-1

然而，在（-1，1）中不存在ξ使f′（ξ）=0.

三、反例有助于激发学生的求知欲

在数学教学和学习中，对有些问题稍加变化，往往能引起大家的兴趣.学生的积极思考讨论和教师有效的引导，让我们可以举出许多反例，这些反例能让学生的求知欲得到激发.

例： 在学习洛必达法则时，满足洛必达法则是否一定能求出极限呢？

如： limx→∞ex+e-xex-e-x，在使用洛必达法则时，总是出现不定式且出现循环现象.这会引起学生的兴趣，自动寻求新的方法.

易犯却不易注意到的错误，往往让我们有强烈的想了解“为什么”的愿望，从而激起我们求知的欲望.难怪前人会说：一个数学问题用反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧.

四、应用反例可以提高学生的数学修养，培养学习思维能力

实践证明：教学中适当运用反例，可以帮助学生深入透彻理解和掌握所学知识，培养他们思维的发散性、灵活性、缜密性和创新性.经过几年数学教学，我觉得在反例的探索过程中，学生面对新的问题情景，能享受到创造的乐趣，从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，培养学生思维的创新性，提高数学素养.

在数学教学中，适时地引进一些简明生动、击中要害的反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，培养他们思维的灵活性、发散性、缜密性、深刻性、创新性和全面性.

【参考文献】

[1] B R盖尔鲍姆，J M H奥姆斯特德.分析中的反例.上海：上海科学技术出版社，1983.

[2]易良斌.初中数学教学中应重视的几个问题.教育科研论坛，2010.

[3]张鑫浩，卢蕊，华芳.反例在数学教学中的作用.镇江教育学报，18（1）.