例析高中数学中基本不等式知识的掌握

罗定汨

高中数学包含很多知识点，要学好数学就得弄清楚每一个知识点，绝对不可以一知半解，否则就会在考试中出现错误。基本不等式是不等式中很重要的一个内容，下面就通过几个例子的分析来加强对该知识点的掌握。ァ糎TH〗一、与函数知识的结合〖HT〗ダ.函数y=log璦x+3－1a>0且a≠1的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，期中m、n>0，则〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值为ソ馕觯河梢阎可知点A－2,－1，又点A在直线mx+ny+1=0上，则有－2m－n+1=0即2m+n=1，又m、n>0ニ以〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗1〖〗n〖SX)〗2m+n=3+〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗≥3+2〖KF(〗〖SX(〗n〖〗m〖SX)〗•〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗〖KF)〗=3+2〖KF(〗2〖KF)〗サ鼻医龅薄糞X(〗n〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2m〖〗n〖SX)〗且2m+n=1即m=1－〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,n=〖KF(〗2〖KF)〗－1时上式取“=”，从而所求〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗的最小值为3+2〖KF(〗2〖KF)〗.ダ.若x>－1,求fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗的值域.ソ馕觯河蓌>－1輝+1>0ニ以fx=〖SX(〗x2－3x+1〖〗x+1〖SX)〗=〖SX(〗x+12－5x+1+5〖〗x+1〖SX)〗=x+1+〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗－5≥2〖KF(〗5〖KF)〗－5サ鼻医龅眡+1=〖SX(〗5〖〗x+1〖SX)〗即x=〖KF(〗5〖KF)〗－1时上式等号成立，所以fx的值域为 2〖KF(〗5〖KF)〗－5,+∞ァ糎TH〗二、与数列知识的结合〖HT〗ダ.已知等比数列〖JB({〗a璶〖JB)}〗的各项均为正数，公比q≠1，设P=〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗,Q=〖KF(〗a5•a7〖KF)〗,则P与Q的大小关系是（）AP>QBP0 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗a3•a9〖KF)〗当且仅当a3=a9时等号成立，又q≠1ニ以a3≠a9 ∴〖SX(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a3•a9〖KF)〗 又由等比数列性质可知a5•a7=a3•a9ァ唷糞X(〗a3+a9〖〗2〖SX)〗>〖KF(〗a5•a7〖KF)〗即P>Q，选Aダ.已知x、y>0,x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗的最小值是（）A0B1C2D4ソ馕觯河蓌、a、b、y成等差数列∴a+b=x+yx、c、d、y成等比数列∴cd=xy 又x、y>0ァ唷糞X(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗=〖SX(〗x+y2〖〗xy〖SX)〗=2+〖SX(〗x〖〗y〖SX)〗+〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗≥2+2〖KF(〗〖SX(〗x〖〗y〖SX)〗•〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗〖KF)〗=4サ鼻医龅薄糞X(〗x〖〗y〖SX)〗=〖SX(〗y〖〗x〖SX)〗即x=y时上式“=”成立，所以〖SX(〗a+b2〖〗cd〖SX)〗最小值为4ァ糎TH〗三、与线性规划知识的结合〖HT〗ダ.设x、y满足约束条件{0≤x≤10≤y≤4,若目标函数Z=abx+ya>0,b>0的最大值为8，则a+b的最小值为ソ馕觯河蒢=abx+y輞=－abx+Z 作出可行域ス原点作直线l0:y=－abx∵a、b>0∴－ab<0 从而平移l0至点M1,4时有Z﹎ax=8 所以ab+4=8輆b=4∴a+b≥2〖KF(〗ab〖KF)〗=4サ鼻医龅盿=b又ab=4即a=b=2时上式等号成立所以a+b的最小值为4.ァ糎TH〗四、与圆锥曲线知识的结合〖HT〗ダ.已知〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1m>0,n>0，则当mn取最小值时，椭圆〖SX(〗x2〖〗m2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗n2〖SX)〗=1的离心率为ソ馕觯河蒻、n>0 ∴〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1≥2〖KF(〗〖SX(〗2〖〗mn〖SX)〗〖KF)〗荨糞X(〗2〖〗mn〖SX)〗≤〖SX(〗1〖〗4〖SX)〗 ∴mn≥8サ鼻医龅薄糞X(〗1〖〗m〖SX)〗=〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗又〖SX(〗1〖〗m〖SX)〗+〖SX(〗2〖〗n〖SX)〗=1即m=2,n=4时上式取“=”ゴ耸倍杂ν衷卜匠涛〖SX(〗x2〖〗4〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗16〖SX)〗=1 其中a=4,c=2〖KF(〗3〖KF)〗 从而e=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗=〖SX(〗〖KF(〗3〖KF)〗〖〗2〖SX)〗ダ.双曲线实轴长与虚轴长的和为2，则焦距的最小值为.ソ馕觯河梢阎有2a+2b=2輆+b=1又〖SX(〗a+b〖〗2〖SX)〗≥〖KF(〗ab〖KF)〗輆b≤〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗ァ郼2=a2+b2=a+b2－2ab≥a+b2－2×〖SX(〗a+b2〖〗4〖SX)〗=1－〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗サ鼻医龅盿=b又a+b=1即a=b=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗时上式等号成立ゼ唇咕嗟淖钚≈滴2c=〖KF(〗2〖KF)〗ヒ陨霞父隼子都涉及基本不等式的应用，希望同学们能对该知识点能有一个比较清楚的认识，并且能与其他知识点灵活的进行结合。高中数学内容虽然比较多，但只要我们在学习过程中能保持积极向上的心态，多归纳总结，细心认真，相信学好数学是不成问题的。