浅谈变式训练

田青莉

摘要：中考数学复习的目的是在短时间内帮助学生熟练地掌握所学知识，并能运用知识解决问题。笔者结合自己的教学经验与摸索探究，认为“变式训练”教学是完成这一目标的良好方法。

关键词：一题多解；一法多用；一题多变；变式训练

中图分类号：G633.6 献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0158

变式训练是我国中学数学教学中的一种重要的教学策略，是我国数学教学的特征之一。变式教学在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力、提高教学质量方面有着不可忽视的作用。特别是在初中数学复习过程中，它能使知识系统化、条理化、网络化，能使学生对知识进行整体构建，在有限的时间内高效地完成学习内容，适合学生的发展性需要。以下是笔者在教学实践中总结出的变式训练的几种方法：

一、一题多解

一题多解就是从不同的角度、不同的侧面分析同一问题中的已知条件和题目中所隐含的条件，运用所学知识使条件和结论之间建构为某一数学模型，用不同的解法得到相同结果的思维活动过程。在九年级紧张的复习教学中适当地安排一题多解，既可以加大课堂容量，又可以使学生加深巩固对所学知识点及其内在联系的理解，掌握各部分知识之间的相互转化，扩大学生的视野，激发学生的探索欲望，满足不同层次学生的发展需求，从而解决“吃不饱”和“吃不了”的问题，提高课堂教学的效果。

例如，一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高是3米，把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米？

笔者在引导教学时，首先把问题情景化，在此基础上，引导、讨论、分析这道题解题的关键、涉及到的知识以及圆锥、圆柱体积公式的应用。在笔者的鼓励下，学生运用小组合作研究，汇报出三种不同的解法：

解法1. 由于圆柱粮囤的体积和麦堆的体积相等，于是先求出麦堆的体积后直接被圆柱粮囤的底面积除，就会得到粮囤的高。

解法2. 根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等的关系列方程解。

解法3. 由于粮囤和圆柱体积相等，依据圆柱体积=πr2h可以推出，半径的平方r2和圆柱高h成反比例关系。据此原理可以列方程解题。

最后，学生讨论哪种方法是解决问题的最佳方法，在这样的过程中，由一个例题创情境，进行多元化解决，使课堂达成了最佳的教学效果。

二、一法多用

九年级复习时间短，内容多，教材中知识板块的安排不容易在学生的头脑中形成体系，教师应针对复习内容对教材的各章知识点进行整合。因此，在教学中，教师要善于以典型例题或习题为源问题，通过变式形成同类的异型，把它们集中在一起，对其题目的立意、解题思路、解题策略和易产生的误区等进行归纳总结，使学生形成一个共同的认知体系。这可以使我们对一个知识点的某一个侧面的考查变为多个方面的考查，变单一知识点的考查为多个知识点的考查，以一题的解答达到解决一类题的学习效果。

例如，函数关系式的求法，无论是反比例函数、一次函数还是二次函数，都可以用待定系数法。

1. 待定系数法的定义

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数。这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

2. 利用待定系数法解决问题的步骤

（1）确定所求问题中含有待定系数的解析式。

（2）根据解析式列出含有待定系数的方程（组）。

（3）解方程（组）或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如，点A（1，2），点B（2，5）在一次函数的图像上，求一次函数的解析式。

设一次函数解析式为：

∵一次函数图象过点 和点

∴关于K，B的方程组为

∴K= ，B

∴一次函数解析式为：

即：求一次函数Y=Kx+B的解析式，关键是求出待定系数

和 的值，由已知条件（一次函数图像上两点的坐标），列出关于 的方程组，就可以求出一次函数的解析式。

类似地，二次函数的解析式是 ，要写出解析式，需求出 的值，为此，可以由二次函数图像上 个点的坐标，列出关于 的三元一次方程组，求出三个待定系数 的值。

再如：一个二次函数的图像经过点（-1，10），（1，4），（2，7），求这个二次函数的解析式。

设二次函数解析式为：

∵二次函数图像过 、 、 三点

∴关于a，b，c三元一次方程组为：

∴a= b= c=

∴二次函数解析式为：

即：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数 ， ， 的值，由已知条件（二次函数图像上三点的坐标），列出关于 的方程组，求出三个待定系数 的值就可以写出二次函数的解析式。

三、一题多变

教科书凝聚了在教学教材研究方面造诣深厚的众多专家教授的心智，是一线教师平时教学的基础和根本，但教材是“物化”的东西，教师是“人师”，不应该“教教材”，而是要“用教材教”，教师应考虑学生间的差异性和多样性，注意满足不同学生的不同需求。新课标指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”，在复习过程中要让不同层次的学生有不同的表现，不一样的收获。在教学中，教师要精心备课，将各知识点串珠成线，连线成面，形成体系，对图形或题目中的数字（文字）进行简单的变式，虽然图形和题目的叙述发生了变化，但解决问题的核心知识点却是一致的，都是运用相同的定理来实现的，不同层次的学生均能下手尝试，在不断的参与中，学生可以体验到成功，收获到喜悦，增加探索知识的信心和兴趣，从而积极寻求解题的规律和方法。

九年级复习的时间较短，针对时间紧、任务重的特点，教师可以结合所带学生的具体情况，进行一题多变。

例如：证明一条直线是圆的切线是中考23题必考的一个题目，通过不同的题目，让学生掌握切线的证明方法。

如图所示，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD。

（1）求证：直线CE是圆O的切线。

（2）求证：AC2=AB·AD

证明：（1）连接OC，

因为OA=OC

所以∠OCA=∠OAC。

又因为AD⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因为AC平分∠BAD，

所以∠OAC=∠CAD，

所以∠OCA+∠ACD=90°，即OC⊥CE，

所以CE是圆O的切线。

（2）连接BC，

因为AB是圆O的直径，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因为∠OAC=∠CAD，

所以△ABC∽△ACD，

所以■=■

即AC2=AB·AD

再如：已知如图，以等边三角形ABC的 一边AB为直径的圆O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，求证：DF为圆O的切线。

证明：

连接OD，则△AOD是等边三角形。

所以∠ADO=60°。在RT△DFC中，

因为∠C=60°，

所以∠CDF=30°，

所以∠FDO=180°-（∠CDF+∠ADO）=180°-（30°+60°）=90°

而OD又是圆O的半径。

所以DF是圆O的切线。

数学课变式训练是数学习题讲评的有效方式。针对数学这门学科的特点，讲评习题是重头戏。如何通过习题使学生的知识得到充分的巩固与应用，变式教学是一种有效的方式。在对习题的变式过程中，对学生的思维定势提出了严峻的挑战，引发了学生对同一问题进行多角度的探索与思考，从而培养了学生的发散思维，摆脱了教条主义、形式主义和你“教”我“学”的被动局面。通过习题的变式教学，学生可以形成由数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯。

（作者单位：陕西省渭南市临渭区故市二中 714000）