促进高中学生数学表达与交流的实践研究

方东成

摘 要：数学学习本质上是数学思维活动，表达与交流是思维活动中的重要环节。尝试以转变师生观念、加强语言学习为铺垫，以数学纠错本、数学作业本、数学写作本为交流载体，让“批、评、展”促进课外数学交流，让“写、说、讲”锻炼学生表达能力。实践表明，学生表达的机会增多了，表达与交流的能力也增强了。结合教学实践，介绍促进学生交流与表达的方法以供研讨。

关键词：师生关系；教学氛围；语言学习；交流训练

对于喜欢数学的学生而言，数学学习是一种乐趣，数学交流是他们展示个人能力、获得自信与成就感的舞台；对于想学好数学的学生而言，数学交流可以拓展思维、提高学习效率、取长补短；对于学困生而言，数学交流使更多的同行者为自己指点迷津、授业解惑。2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准》（实验稿）把“提高数学表达和交流能力”作为高中数学课程的目标之一。但从教学实践来看，教学中缺乏师生、生生固定的交流载体，教师缺乏对学生的数学交流能力的培养，学生缺乏数学交流的锻炼机会。由此，我们展开了旨在发展学生数学交流能力的实践研究。

一、和谐师生关系，营造教学氛围

从本校教学调查与观察来看，与教师及同学关系良好的学生群体在数学交流与合作方面表现得更为活跃。与学生打成一片的教师有更多的学生提问，教学绩效也有比较明显的优势。对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更为教学创造了教育情境和精神氛围。新课程要求“以人为本”。对学生而言，交往意味着心态的开放、主体性的凸显、个性的彰显、创造性的解放。对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。交往还意味着教师角色定位的转换：教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向学生发展的促进者。因此，创设基于师生交往的互动、互惠的教学关系，是实现数学交流的必由之路。

由此，在教学实践中，我们要求教师做好如下几方面：第一，教师要为学生的发言营造良好气氛。譬如在学生本人和同学们为他们的数学学习而承担责任时给予支持，在数学交流中给予积极的评价。第二，合理分配教学时间。教学设计中必须要有教师缄默时间，师生、生生合作交流时间。强制规定教师连续讲解时间不超过5分钟，总发言时间不超过20分钟。学生发言至少8分钟。第三，教师要善于组织与促发有意义的数学交流活动。教师发起的课堂讨论与数学交流应建立在对学生学习观察的基础上。譬如投影有争议的解法、有独特性的解题方法以及普遍存在的典型错误等来促进有效的数学交流。

二、加强语言学习，扫清交流障碍

1.强调概念定理，咬文嚼字，体验严谨性

为了能使学生使用规范的数学语言进行交流，在教学中教师要力求做到用词准确、叙述精练、前后连贯、逻辑性强，避免用日常用语代替数学专门术语，也不要为了说话方便而以简略的形式代替完整的语句，结果遗漏了概念和定理的重要条件。对于重要条件和定理的讲述要根据学生的认知实际，设置疑问或是加以强调，让学生能更好领会数学语言的严谨。譬如：叙述直线与平面垂直的判定定理时用“线线垂直→线面垂直”进行概括。学生通过这个简短的结论加以记忆会导致理解上的偏差，必须强调“直线与平面内的两条而且是相交的直线垂直”。我们还可结合学生小时候玩过的竹蜻蜓作为生活实例加深印象，教学效果显著。

2.重视数学符号，小题大做，体验深刻性

每个数学符号的形成都有其独特的背景与含义，抓住符号介绍的契机，揭示符号背后的背景与含义，既能吸引学生注意力，也能加深学生对数学语言的印象。正如第一个使用现代符号“=”的数学家雷科德所说：“再也没有别的东西比它们更相等了。”他的巧妙构思得到了公认，从而相等符号“=”沿用了下来。如平行符号“//”简单又形象，给人们抽象而丰富的想象，在同一个平面内的两条线段各自向两方无限延长，它们永不相交，揭示了两条直线平行的本质。

将符号的起源及其应用情境向学生交代清楚，这其中既有联系实际、会意的表达方式，也有来自英语的变形表达，有助于学生正确地理解符号和概念，加深对数学符号的印象，加速认知结构的建立。

3.狠抓图形语言，数形互变，体验科学性

利用图形交流具有简洁明了、言简意赅的特点，在教学中，教师要在作图与识图上多花工夫，使学生利用图形交流成为可能。譬如：在作图上，同一个立体图形可以有不同的画法，至于采取哪一种画法，得根据具体问题的实际情况，在作图过程中不断分析有关线、面、角之间的关系，尽量使所画直观图有利于突出具体问题中要重点观察的那部分图形，并使之尽可能地有真实感。通过不同学生作品的对比，使学生自由评判与体会。生动鲜活的例子比教师的嘴巴更有说服力。

三、构建交流载体，组织数学交流

1.完善作业评价，发挥交流功效

②面批：挑选包括课代表在内的3个作业做得最好的学生以及作业很不理想的同学为面批对象。对优秀者的面批主要是肯定该生的学习成果，促進学生个人在数学学习中的成就感。同时也要转变被评价者的角色，让学生参与到作业的批改中来，提高数学学习的积极性。面批能及时解决学生在课堂学习中的困惑，及时为学生排忧解难，减少问题的积累。也能使学生感受到教师对学生个人的关心，提高数学学习的积极性。

③学生互批：教师与同学一起批改作业，遇到问题相互探讨，防止出现误判的情况发生。师生均对学生的作业给予若干正面的评价，提高学生完成数学作业的积极性。

（2）展示优秀作业，促进数学交流

我们通过黑板报、统一印刷、课堂上典型作业投影以及每周一次的作业本评分让数学作业本流动起来，为数学交流提供可

能，让交流成为常态。如此的操作能鼓舞学生的学习热情，使学生对数学产生情感上的认同，能刺激学生更加投入到数学学习中去。通过学生的鼓励性评价和教师的推荐，用于展示的作业已经有了广泛的认同基础，作为典型的优秀作业展出可以让学生的自我价值得到体现，获得精神上的满足。

2.统一纠错模式，展开纠错交流

（1）养成纠错习惯，建立纠错档案

我们从部分同学相互借阅纠错本的情境中获得启发，让更多学生参与到纠错中来，规范纠错本的模式，让纠错有更多的实质内容与思考，并在自我交流与生生交流中最大可能地发挥交流作用。纠错本包括：①记录错误信息；②指出错误之处；③设法纠正错误；④复习巩固知识。通过纠错本，不仅仅记录错题，给学生自我反思交流的机会，同时也使之成为数学交流的载体。

（2）利用纠错档案，扩大数学交流

我们要求学生定期翻阅自己的纠错本，相互查看别的同学的经典纠错案例，我们要求学生对其他同学的纠错本作出鼓励性的真诚的评价。通过纠错本的翻阅整理，形成考前的第一手资料，以达到纠错防错的目的。同学间的数学交流也在互帮互助的讨论、鼓励性评价中实实在在地展开了。如图1是学生纠错本中摘入的一页。我们尝试由学生自主挑选来自同学们纠错本中的典型错误组成试卷，用于日常教学的检测。实践发现，这种类型的试卷在提高纠错防错的意识的同时，也为学生做数学题目增添了动力，大多数同学看到自己的典型错误被采纳之后会格外的兴奋，也会加深对该错误的印象，提高纠错的积极性。现展示學生错题集中的一页以及由纠错本中的错题组成的试卷以及纠错（如图2）：

3.设立数学随笔，创建交流渠道

数学课堂上有来不及问的、不好意思说的、没理解的内容，课余这些问题都去哪里了呢？学生是否会去思考，是否能问同学，是否能来问老师。现实是问老师的极少，问同学的更多停留在答案正确与否，自己能思考解决的有多少呢？于是，我们要增加师生、生生间的沟通与交流。

数学随笔的形式多样，目的不限。主要形式有：①提问。我们要求学生可以提问，但是不能只是提问，要分析自己的困惑所在，要说出与同学交流的尝试之后失败的原因，说出解决这一问题之后对自己的帮助。②反思。在师生交流、生生交流、生本交流、自我交流过程中会遇到特别值得记录的反思性结论。譬如：反复性错误、解题失败的原因、讨论中的收获、交流出来的经验等等。③评价。在课堂教学过程中，师生的观点不尽相同，为了能倾听学生的声音，应允许学生对课程的内容、解决问题的方法、答案的合理性等各方面作出评价。④自由发表意见。学生可以在此阐述自己关注的或者渴望倾诉的问题，发泄自己的情绪。包括自己的成功、不足以及不满情绪。教师广泛地倾听学生的声音是落实“以生为本”的教育理念的行为，是促进师生沟通交流的前提。我们希望能够通过交流构建更为和谐的师生关系。

四、加强交流训练，提供交流契机

1.“写”——专题写作锤炼语言

写作是运用语言文字进行表达和交流的重要方式。相对于说而言，书面表达有更加充足的时间用于理性思考，更为严谨。相对与随笔的自由，专题性的写作更有指向性，也能促发学生更深层次的思考。写是自我交流的一种体现，同时也为学生之间的交流增强了信心与底气，为扮演教师角色作了铺垫。

（1）写专题

专题的写作难度较大，概括性强，数学基础薄弱的同学寸步难行。因此，我们要求学生尽量独立完成的同时，也允许学生参考书本、课外资料，甚至利用网络搜索引擎获得相关材料。考虑到学生的实际，允许学困生摘抄部分有价值的内容，但必须要求自己能看得懂、讲得出。

（2）晒专题

在教师的固定位置专门开辟一个专栏，我们把学生的专题写作进行张贴，把自己的劳动成果与大家分享，精选那些优秀的数学写作复印给学生，形成更大范围的数学交流。学生的专题得到老师的推荐是对自己学习的充分肯定，能够在每位同学面前展示更能激发学生的学习自信心与学习热情。学生也更愿意参与到数学交流过程中来，有利于形成更广泛的数学交流氛围。运作流程：

2.“说”——发掘课堂交流潜能

课堂本应是学习共同体交流数学思想的舞台，传统的数学课堂可以认为是教师的专场演出，学生没有机会发挥学习的主动性，知识的掌握效果会大打折扣。新课程理论强调学生的主体地位，学校新的导学案严格要求教师讲述时间不超过20分钟，那么如何激发学生说的欲望，把握住课堂交流时机最为关键。具体做法有：

（1）创设情境，交流于知识的形成过程中

建构主义学习理论认为：学习是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息，建构当前事物的意义。知识的建构并不是任意和随心所欲的。在建构知识的过程中，必须与他人磋商并达成一致，并不断地加以调整和修正。现呈现教学片段如下：

总结与反思：在椭圆的定义形成过程中，学生经历师生、生生、人机、生本交流及动手实践，让学生了解了椭圆形成的背景及条件，加速了概念的形成。“腰子蓝的底”最终由学生归结到两个半圆与一个长方形而告一段落，但这一意外活跃了课堂气氛，也让学生从直观感知上升为理性认识，几何画板演示加深了对椭圆的动态特征的印象，板演作图过程是对书本知识的操作确认，从定点与定长的发现抓住了概念的核心。整个过程中学生的交流形式多样，每位同学都有参与的机会，课堂气氛活跃，学生的主体地位突出。遗憾之处是绳子长度都是定死的，要是长度不等的话是否能引发更多的对比与思考。该过程探索时机比较长，需要教师紧凑的安排，需要学生积极地参与，不然会影响教学进度。

（2）给予机会，交流于认知的冲突进行时

数学交流离不开学生的参与欲望，它是学生积极参与思维活动的重要原因。设置疑问，让学生的认知与现有认知结构产生强烈的冲突，就能极大地刺激学生的学习动机并激发学生的参与热情，引发学生积极主动地交流。

（3）给予信任，交流于复习的归纳整理中

每逢章末、小节或是典型的题型，学生先行即让学生先练习，教师断后即总结归纳。结合学校实际，我们发现更多的学生被教师牵着走，缺乏自主梳理的过程。即使是在师生合作下的归纳总结，最终的总结也是统一的，不是体现每个学生的知识结构和适应自身需要的有价值的总结。对于公式都记不住、代公式有困难的同学，他们需要的是公式的推导记忆方法以及简单的常见类题型，对于基本功好的同学，他们需要的是基于常见题型、常用方法之上的较深层次的变化以及自身在解题过程中暴露出来的不足与易错点等方面的总结。我们尝试的课堂总结模式：

3.“講”——展示个人交流才能

美国学者艾德加·戴尔的“学习金字塔”理论认为：向别人讲授以及相互教，快速使用，知识保留达90%，是学习效率最高的方式。我们尝试让学生走上讲台，以讲促学，提供给学生交流的机会。

（1）讲公式

（2）讲题目

教师精选试题或是学生自选深有体会的习题或是教师批阅后部分作业的讲解让学生来承担。课堂教学过程中学生有独特的思维和优秀的作品呈现时，我们邀请学生来介绍自己的独特理解；也故意设置一些错误引起学生的警觉，提高讲题的参与度。在“啧啧称赞”与“千夫所指”或是“刨根问底”中创造了氛围，提高了学生交流的积极性。通过学生准备后的“讲”，讲出自己对题目的解法、思考方法、纠错经验，讲出同学与个人的典型错误，引发众人纠错与反思等。既发挥了数学的语言功能，锻炼了胆量，也在学生间的相互讲与教过程中，促进学生对问题的钻研与理解。最大限度地提高学生听与质疑的积极性，使数学学习与交流的形式多样化。

课堂内的讲题目主要由数学功底较好、表达能力强的学生参与，以自愿为原则，保护与照顾学困生以及内向学生的心理。对于后者，我们单独成立互助合作小组，在班级中成立数学顾问小团体，由那些性格开朗，特别愿意给其他学生排忧解难的同学组成。一般交流时间为晚自修走廊或者讨论教室内互帮互助，并在制度上给予互助双方一定的奖励。

（3）讲题型

在日常教学中，学生的解题一般是就题论题，对题目本身的发生发展是无人问津的，一旦题目产生些微小的变化就会给学生带来不安与困惑，甚至有同学就觉得是新题目。这种就题论题的做题方法会让学生掉进题海，达不到举一反三的效果。而譬如三角函数、解三角形等常考题型又是学生必须啃下的硬骨头。因此，我们对常考题进行讲题型训练，借此希望加强学生对重点题型的归纳终结，同时也希望能形成解常用题型的通性通法。

譬如某学生在讲三角函数常考题型时，总结了一类典型的三角函数题型：“关于f（x）=Acos2ωx+Bsin2ωx+Csinωxcosωx+D探究”，该生总结了常用的公式、常规解法的操作步骤、涉及的数学思想方法、常规考试中频率较高的问题，推荐学生做的题目、可能的易错点、防范的方法等等。该团队经历的资料收集与归纳总结过程本身就促进了学生间的交流，讲解过程中得到升华与提高，整个团队的学生加深了对该部分内容的印象与理解。

上文是从发现教学中学生数学表达能力弱、数学交流氛围缺乏、数学交流困难的学情出发，从学校教师的经典做法中汲取经验教训，从转变师生观念开始，通过构建载体、应用载体、提供展示机会等方法与途径来提高学生表达与交流能力。从实践来看，学生学习的兴趣有提高，数学语言的应用与表达有提升，学习习惯有改善。

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| 编辑 赵飞飞