浅析尺规作图对提高学生创新力的重要性

胡李萍

【摘要】 随着近世代数的不断完善，以及平面几何研究工具的不断发展，尺规作图这一早在古希腊时期提出的最原始的数学问题，在我们的实践教学中越来越不被重视. 在我们的平面几何教学工作中，我们也越来越多地忽视了尺规作图对提高学生创新力的重要作用. 本文将结合教学案例来说明尺规作图在开发学生创新性思维方面的积极作用.

【关键词】 尺规作图；平面几何；创新力；教学案例

前人对尺规作图难题的各种开创性研究，极大促进了数学思想的发展，这是由于创新性在其中起到了决定性的作用. 相比于现在，我觉得我们的学生大多依赖于教科书上的标准解题方法，所缺乏的恰是这种对问题的创新性探索. 下面，我通过尺规作图中过圆外一点作圆的切线这一简单的教学案例来说明尺规作图对学生创新力的重要作用.

一、教学案例反映尺规作图的创新性价值

（一）案例一：过圆外一点作圆的切线

首先，我们来回顾一下尺规作图的几种基本方法：（1）作一条线段等于已知线段. （2）作一个角等于已知角.（3）作已知线段的垂直平分线.（4）作已知角的角平分线.（5）过一点作已知直线的垂线. 这几种基本操作我们在下边的论述中直接使用，不再做证明.

然后，我们来看一个尺规作图问题：如图1，已知圆外一点A，求作过该点A的圆的切线. 我们的方法是：首先，连接AO，作AO的垂直平分线交AO于D. 然后，以D点为圆心，DO为半径作圆交已知圆于B，C两点. 直线AB，AC即为所求.

在这里，我们用到的性质是：（1）圆的切线垂直于过切点的半径. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 上面的解法中我们是反过来利用了这两个性质. 但是这里并没有体现出尺规作图对学生创新性的影响，因为在我们的教学中，几乎所有的老师都止步于这里，只是简单地告诉了学生这个问题应该这样解决，没有去诱导学生自主地想方法去解决这个问题.

（二）案例二：一道课后证明题

如图2，已知两个同心圆，大圆和小圆半径分别为R，r，分别过大圆上A，C两点作小圆的一条切线交大圆于B，D两点，切点分别为P，Q. 证明：AB = CD.

这个问题并不难证明，连接OP，OQ，OA，OC，由于OP = OQ = r，OA = OC = R，我们可以证明Rt△APO ≌ Rt△CQO（HL），因此可得AP = CQ；同理可得证△BPO ≌ △DQO，因此BP = DQ. 所以，AP + BP = CQ + DQ，即AB = CD，命题得证.

这道题目仅仅是一道简单的证明题吗？它和尺规作图有什么关系呢？我们知道，尺规作图所利用的基本方法就是我们所熟知的一些定理性质的逆应用，很少有人在做这道题目的时候会想到它和尺规作图有关联，但是有一名学生却发现这个证明题反过来做的话，可以是过圆外一点作圆的切线这个尺规作图问题的另一种作法.

（三）案例三：利用案例二的证明题解决案例一的尺规作图问题

首先，以O为圆心，OA为半径作一大圆；其次，在小圆上任意取一点S，过S点作OS的垂线交大圆于M，N两点；然后以A点为圆心，MN的长度为半径，作圆弧交大圆于P，Q两点；最后，连接AP，AQ，此时直线AP，AQ即为所求.

这个例子中用到的方法就是图2的证明题逆过来思考的. 这样我们就会想，在平面几何里尺规作图这个模块的教学中，我们是否可以鼓励学生多去尝试，在按教科书教他们做一个尺规作图题目之前，让他们先去用自己所学的知识解决问题，或者鼓励他们用多种方法去解决一个尺规作图题目，这样有利于他们把自己所学的知识或者所做的题目和尺规作图题目有机地结合起来，对学生的解题能力和创新性思维也是一种提升.

二、尺规作图对提高学生创新力的重要作用

通过前边的几个教学案例，尺规作图对提高学生创新力的重要作用主要表现在：一是尺规作图强调的是图形的运动和变换，有利于培养学生的空间想象力；二是尺规作图是学生实际操作的过程，不仅锻炼学生的思维，而且对其动手能力也有很大的帮助；三是这种从定理性质或是证明题结论出发来解决尺规作图的方法，对学生的逆向思维的培养有很重要的作用；四是尺规作图还是我们教学工作中一些问题解决不可或缺的工具，比如怎样证明“边边角”不能作为证明全等三角形的依据，我们用尺规作图可以直观清晰地给学生以展示. 然而，在《九年义务教育数学课程标准》中，尺规作图被很大地削弱了，并且对学生在这方面的要求也有所降低. 对于我们教学工作者而言，我们要重视其教学意义，不仅因为其历史悠久，是数学思维的瑰宝，可以促进人们对问题直观清晰地认识，而且更多的是其这种对学生创新性思维的启发.

三、结束语

尺规作图是平面几何极其重要的一部分，是数学美的一种直观形式表现，是我们教学工作中对学生创新性思维启发的一重要工具，它不仅对古人数学思想的发展有不可磨灭的推进作用，而且对当代学生数学思维的启迪有极大的影响. 在教学工作中，我们要利用好这一重要的特点，不断地启发学生在解决尺规作图问题中增强创新力，为培养出更优秀的学生，更有数学创新能力的骄子而不断努力！

【参考文献】

[1]向坤.从尺规作图看古希腊数学观及其对教育的启示[J].数学教育学报，2013（22）.

[2]刘芳.对尺规作图教学的三个思考[J].中国数学杂志，2009（10）.