高职微积分教学的MM模式初探

潘凤

【摘要】 微积分的教学是高职数学的挑战. 由于微积分理论的高深，符号语言的抽象，解题方法的多样，加上学生认知层次的有限，学生对微积分望而生畏. 笔者认为，将MM教学模式应用于微积分教学，可以激发学生的学习欲望，提高学生的认知水平，改善学生的固化思维，从而达到良好的教学效果.

【关键词】 微积分；MM教学模式；数学认知

21世纪以来，世界各国将微积分引入职业学校数学课程. 然而微积分的教学却面临极大挑战. 首先，高等数学思维与数学经验的冲突. 其次，教师教学方式与内部动机的对立. 再有，强调重中之重与学无所用的矛盾. 高职微积分教育的最高目标是：以知识为载体，提炼“极限”中的返璞归真思想，感受导数的演绎推理观点，掌握积分计算的一般计算方法等，并运用这些思想、观点、方法去分析、探究、解决今后学习工作上的难题. 而此最高目标的达成需要改变教育方式，实践证明，MM教育方式是适合微积分教学的目标达成度最高的方式.

一、选择MM数学教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即数学方法论的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前两个词头，是波利亚方法论在中国数学的实践运用，是由无锡市教科所的徐沥泉同志在1989年提出并付诸实践. 该方式的理论精髓：运用数学方法论的观点指导数学教学，即应用数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现、发明和创新机制设计和改革数学教学的一种数学教学方式.[4]使用MM方式在数学教学的全过程中遵循“2238”原则，充分发挥数学教育的2个功能：科学技术功能和文化教育功能；自觉遵循2条原则：教学、研究、发现同步协调原则和既教证明又教猜想原则；瞄准3项具体目标：一般科学素养、社会文化素养、数学品质；恰当操作8个变量：返璞归真教育、数学美育、发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育、演绎推理教育、合情推理教育、一般解题方法教育. 从而全面提高学生素质.

（二）大浪淘沙始见金——MM教育方式能实现有效教学

20世纪80年代至今，各种数学教育理论、教改方案、教学方法层出不穷，有“探究性学习”理论、“情境设置”方案、“活动课”教学方法等，然而探究无度、情境无限、活动无目的造成很多方法的片面使用. 因为数学教学内容的复杂性、相关度等的不同，教条主义已不适用，需要使用组合拳. 而MM教育方式正是几十年来硕果仅存的数学教育方式，它不光存活，还在发展.

（三）MM教育方式对微积分教学的积极意义

对高职校的学生而言，微积分理论高深，符号语言抽象，解题方法多样. 然而徐沥泉认为：“学习数学的困难，并不是它本身的抽象形式，而是离开了它抽象的背景，离开了用似真推理来发现它的过程，离开了在受到挫折以后对反馈信息的分析，离开了生动活泼的创造发明的活动机制. ”[4]那么要问：这些背景、过程、分析、发明从哪里来？答案就是MM教育方式. 解决微积分教学的困难不是把难讲的证明删去，把抽象度高的理论忽略，把考试难度降低，如果这样，只会纵容学生的好逸恶劳、偷工减料和知难而退的心理，造成学生素质的下降. 教师需要MM设计，把数学的精彩内容和完美形式呈现；除了培养学生学习知识之外，教给学生从“宏观”到“微观”的思想，让学生感受微积分的神奇，解决初等数学没有办法解决的问题，从而产生学习微积分的自豪感.

二、微积分教学中“MM设计”原则

（一）情境引入恰当原则

由于微积分基础对象复杂的结构，教学中需要创设相应的情境引导学生进入主题学习，然而只有恰当的情境才能激发学生的求知欲. 教师要根据微积分教学内容和要求，考虑学生的认知，创设良好的教学氛围，运用适合学生理解的情境，最终促进学生知识的迁移.

（二）符号讲解详尽原则

符号是数学的语言，是数学简洁抽象特点的重要因素. 只有在设计中对符号的讲解细致深入，配以学生的书写练习，才能真正对微积分符号达到了然于胸的程度. 极限符号“■”的讲解不光要注重与英文单词“limit”的联系，更要关注字母的书写. 可以用英文三线格给出正确的示范，让学生感受字母相应的位置和大小状况. 不定积分符号“ ∫”可从它的发明者莱布尼茨讲起，发现其是由英文单词“sum”的首字母“s”拉长得到，这样不光对学生进行了数学史志教育，更感受了积分的内涵是求和.

（三）学生参与广泛原则

学生是课堂的主体，然而微积分的教学容易变成教师的独角戏. 在MM教育方式的指引下，为了实现发现法教育，需要设计出学生能够广泛参与的MM课堂. 布鲁纳（Bruner，1966）这样说：“我们讲授某个课程并不是为了形成有关该课程的小型百科全书，而是让学生自己去思考……像历史学家那样去考虑问题，去参与获得知识的过程. ”虽然微积分概念的讲解学生的参与度极低，然而教师可以通过层层推进的问题帮助学生思考，用启发创新的方式让学生自己尝试定义、命名，用黑板演练的形式加强学生符号书写能力，从而提高参与课堂的广泛度.

三、微积分教学中MM模式的使用

下面从微积分最重要的三个部分极限、导数、积分出发，探讨一下学生对这几部分的理解和认知，并给出MM设计案例，展现MM模式的效果.

（一）极限思想

极限思想贯穿微积分始终，是学习微积分的敲门砖. 柯尔尼（Cornu）指出：“极限教与学的困难不仅在于极限概念本身的丰富性和复杂性，还在于仅凭定义本身并不足以生成理解该概念所需的认知要素. ”[2]为了降低难度，课本删去了“ε - N”精确定义，只有“描述性”定义. 然而如何帮助学生理解这种思想，需要精心设计，合理解读，适时思考. 以“数列极限概念”为例，简述MM设计过程：首先介绍牛顿和莱布尼茨发明了微积分以及它的用途，对学生进行数学家优秀品质教育、数学史志教育；从“生活中的极限”出发，让学生畅所欲言，展现他们对“极限”最本真的认知，是一种返璞归真；多媒体演示割圆术等古代极限思想，让学生模糊感受数学当中极限这个词的意义，初步对比与自己所想“极限”的异同；学生讨论得出前面给出例子中最重要的信息：一个量变化，另一个量的变化趋势，数学中“极限”是一个过程，这遵循了教学、研究、发现同步协调原则；使用数轴法让学生观察当n趋于无穷时数列an的变化趋势，用发现法帮助学生从不同场景中抽取共性的能力；给出数列的描述性定义，强调极限的写法、读法和字母大小位置的分配，并提问对“无限趋近”的理解；师生共议得出无限趋近是越来越接近，且接近的过程不会停止；通过考察数列求极限的例题，让学生说过程、写出极限表示、适度练习. 该节课学生积极参与、热烈讨论、认真书写，达到教学应有的效果.

（二）导数应用

研究表明，学生对简单函数的求导运算掌握得不错，在于能够记得公式和运算法则. 然而关于导数的深层次的理解还相当欠缺，举个最简单的例子：为什么（sin x）′ = cos x？答：公式就这么给的. 这也就造成了导数记公式，应用背步骤，考试背题目，毫无探索、发现、掌握的乐趣. 用MM模式设计导数，能够让学生知其然更知其所以然，通过获得知识的努力感受成功的喜悦. 下面就以（sin x）′ = cos x为例给出MM设计：首先教师根据定义证明（sin x）′ = cos x；其次，对结论剖析：涉及两个函数，一个函数为f（x） = sin x，另一个函数为f（x） = sin x的导（函）数f′（x） = cos x；再有，从函数的观点讨论导函数如何得来的，每一个点x0，就有过x0切线的斜率值即k0，根据导数定义，k0 = f ′（x0），x0与f′（x0）形成一种对应关系，构成新的函数y1 = f′（x），我们称为导（函）数；最后，选取定义域为[0，2π]的函数图像（图1），作出切线斜率变化的趋势分析，师生共同完成表格，并观察表格中的一、三两行猜想得出结论：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 该设计既教证明又教猜想，为的是让学生感受思维的过程，体会结论得之不易的艰辛，领悟简单公式蕴藏的深刻联系. 经过此番讲解，学生对求某点切线斜率也就得心应手了，因为导数公式求得的就是导（函）数，有了导（函）数就能求得某点的导数值，即切线斜率值. 不光如此，在后续的导数应用的章节中学生也能够自己分析得出很多重要的结论.

（三）原函数概念

积分与微分互为逆运算，然而贝里（Berry）和尼曼（Nyman）发现学生把积分看成是一系列的运算技巧，这也造成了如果不打破常规，寻求可行的教学方式，学生只会成为照搬结论、不会思考的公式的奴隶. 原函数是积分中一个重要的概念，下面就从原函数出发探讨MM设计：从最熟悉的公式（x2）′ = 2x与d（x2） = 2xdx出发，复习导数与微分：

从图示发现两函数间有关系，已经知道2x称为x2的导（函）数，如今也给x2取个名字，叫2x的原函数；给出原函数定义后，师生共同探讨原函数的个数；从d（x2） = 2xdx出发，以小组接龙形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的结果，并说出谁是谁的原函数，谁是谁的导数，让学生更清楚原函数的概念；学生发现2x的原函数有无数多个，并举出了不同的实例；进一步设问：你能用一个表达式表示这无数多个原函数吗？学生思维活跃，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案纷纷出炉，最后得出结论x2 + C（C为常数）. 有了上述分析，学生自己很轻松地得出原函数族定理，获得极大的成就感，觉得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

总之，在尝试“MM教育方式”下，高职数学的微积分教学在不断地寻求突破、找到捷径、取得效果. 万里长征开头难，为了学生数学素养的综合提升，需要坚持不懈地贯彻MM的“2238”原则，将数学应有的教育功能完美呈现.

【参考文献】

[1]罗伯特·斯莱文.教育心理学[M].北京：人民邮电出版社，2011.

[2]李士锜，吴颖康.数学教学心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[3]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2007.

[4]徐利治，徐沥泉.MM教育方式简介[J].自然杂志，2008.

[5]刘妍妮.微积分的地位和作用[J].今日科苑，2009.