关于反函数的不定积分

刘畅

【摘要】探讨了求反函数不定积分的一些方法，给出了反函数不定积分公式的严格证明.

【关键词】反函数；不定积分；中值定理

【中图分类号】O172

不定积分为求导运算的逆运算，在求导法则中我们知道函数与反函数的导数互为倒数[1].那么函数的不定积分与反函数的不定积分之间具有什么关系呢？文[2]～[4]分别利用分部积分法和几何图示法给出了反函数的不定积分计算公式，但其论证是不严密的，分部积分法需要假定函数的可导性，几何图示法依赖于几何直观，不符合数学严密性的要求. 文[5]借助于定积分的定义给出了反函数积分公式的一个严格证明，但论证过程较繁琐.本文利用连续函数的介值定理和拉格朗日中值定理给出反函数积分公式的一个简单证明.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学（上册）[M]. （第六版）北京：高等教育出版社，2007.

[2]张芳.关于反函数不定积分的一种简便求法[J].高等数学研究，2008，11（6）：42-43.

[3]郑英.反函数积分的求法[J].数学学习与研究，2010（1）：72-72.

[4]董秀芳. 探析利用反函数求不定积分[J]. 牡丹江教育学院学报，2013（4）：103-104.

[5]成义宝. 关于反函数的积分法[J]. 曲阜师范大学学报，1988，14（1）：78-79.