与一次函数有关的面积问题

梁雄

将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前的一类热点题型，充分体现了数形结合与分类讨论的思想。下面针对一次函数解析式与面积互求的两个类型举例介绍。

类型一：利用一次函数解析式求面积

例1：如图1，已知直线y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x。

（1）求该函数的解析式；

（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；

（3）求直线y=kx+b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

解析：（1）因为所求的直线与已知直线y=-2x平行，

又因为该直线经过点A（0，6），易求该函数的解析式：y=-2x+6；

（2）因为直线y=-2x+6经过点P（m，2），所以m=2；

（3）由直线y=-2x+6可以求出C（3，0）与坐标轴围成的图形有两种可能：

一种是与x轴围成的△OPC，则S△OCP= OC·yp= ×3×2=3；

另一种是与y轴围成的△OPA，则S△OCA= OA·xp= ×6×2=6。

例2.如图2，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一条直线l经过点C（2，0），且把△AOB分成两部分。

（1）若△AOB被分成面积相等的两部分，求直线l的表达式；

（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶7，求直线l的表达式；

解析：（1）由直线y=-x+4可得A（4，0），B（0，4），

当直线l把△AOB分成面积相等的两部分时，

易求直线l的解析式为：y=-2x+4。

（2）当直线l把△AOB分成的两部分面积比为1∶7时，要分两种情况：

设当直线l的斜率k>0时，直线l将与AB相交于D点，如图3，由题意知：S△CDA= S△AOB

因为S△AOB= AO·BO=8，所以S△CDA=1，

又因为AC=3，所以S△CDA的AC边上的高为1，即D点的纵坐标为1，代入直线AB解析式中知此点坐标为（3，1）

则直线l的解析式为：y=x-2

设当直线l的斜率k<0时，直线l将与直线OB相交，交点为E，

如图3，由面积关系可得交点E坐标为（0，1），

同理可求出直線l的解析式为：y=-2x+1。

例3.如图4，△AOB为正三角形，点B坐标为（2，0），过点C（-2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线l的函数解析式。

解析：设E点坐标为（x，y），因为S△ADE = S△DCO，

所以S△AOB=S△ECB，正△AOB中，OB=2

所以S△AOB= ，在△ECB中，BC=OB+OC=4，所以E点坐标为（ ， ），因为C点坐标为（-2，0），直线l经过点C和点E所以，直线l的函数解析式为y= x+ 。

（作者单位 四川省成都市双庆中学）

编辑 代敏丽