例说预设中探究,互动中生成

张天羽 彭俊昌

【摘要】这是一个方程有实根的充要条件的讨论，从探索、简化、质疑、求异四个不同的侧面展示了师生活动的全过程，通过活动纠正了学生的各种错误观念，消除了不必要的怀疑。从中析出了各种不同的解法。

【关键词】探索简化质疑求异等价转换

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）3-0166-02

这是来自课堂教学中一道预设案例，目的是研究一个方程有实根的充要条件，实施过程虽有曲折，但经师生的共同努力，终于顺利实现了"等价转换"，完成了预定的教学设想。现将师生互动、合作探索的全过程实录如下，供同行们参考。

案例：若关于x的方程4x+2x·a+a+1=0有实根，试求a的范围.

一、探索

探索有益的念头，尝试求解；虽然探索路上坎坷不平，充满荆棘，但在师生合作努力下，一步步向目标逼近。

(师)我们解题的切入点选在换元，通过换元，向一元二次方程转化，然后利用方程有根的充要条件确定参数的取值范围，那位同学上来一试？

[生1]：令2x=u则

u2+au+a+1=0 (1)

∵ 方程有实根.

∴ △≥0

即a2-4(a+1) ≥0

解得：a≤2-2或a≥2+2。

[师]：思路不错，知道用换元法进行转化，运用一元二次方程的根判别式求解，值得肯定。但了2x=u>0，因此解答的结果是错误，这里△≥0只是原方程有实根的必要条件，大家思考一下，方程（1）满足什么条件才满足原方程有实根？

[生2]：根据上述讨论，我们可以知道，原方设方程（1）的两根为u1，u2， 则

=>-1

[师]：[生2]的解答中："原方程有实根，归结到方程（1）有正根"这句话是正确的吗？

[生3]：这句话是正确的，但解答条件加强了，加强到两个都是正根的条件。

[师]：对！我们大家验算一下，a=-2,a=-4,a=-5，原方程的根的情况。

师生共探：

10：a=-2,方程可变为：22x-2·2x-1=0

=> (2x-1)2=2=>2x=1±

舍负得： 2x=1+

=>x=log2 (+1)

20: a=-4，得22x-4·2x-3=0

=>(2x-2)2=7

=>2x=2±

舍负得：2x=2+ =>x=log2(2+)

更多的事实：

a=-3原方程：x=log2

a=-6，…… x=log2(3+)

a=-10 方程的实根为：x=log2(5+)

a=-13方程的实根为：x=log2

如果想举，还可以举出更多。

[师]：这些事实说明了什么问题呢？

[生4]：方程（1）有正根，包括两个方面：

10：方程有两个正根；20：方程（1）有一个正根与一个负根。

方程（1）有一个正根和一个负根，则△≥0

f（0）=a+1<0

=>a<-1 (2)

由[生1]的解法和（2）得：a∈(-∞,-1)∪(-1,2-2］

这样解答就完整了吗？这时大家的思维非常活跃，见老师这样问话，不禁一楞，老师继续道；我们不妨验证一下a=-1的情形：

a=-1时，方程（1）有u=1与u=0两根民符合题意。因此，正确解答如下：

令u=2x>0 . 原方程变为

u2+au+a+1=0 (1)

∵原方程有实根， -

∴方程（1）有正根.

由方程（1）有正根的条件可得：

或

或a=-1

=> -1

所以，原方程有解，实数a的取值范围为：(-∞，2-2],

[师]：我们在纠误中逐歩理解题意，在转化中逐步形成正确思路，在师生合作讨论中实现等价转换，在互动与情景交融中展现探索思维的全过程。从而使正确答案顺理成章，呼之欲出，水到渠成。

二、简化

[师]问题的解决，决不是思维的结束，而是另一思维起点的开始。:反思解题的全过程，那些是可以省略的，那些是可以合并的，就象郑板桥说的：“沉繁削尽留清翠，画到生时是熟时”，使解题过程更加精炼，更加趋于合理。

那么本题的解题过程中那些可以省略，那些可以合并呢？

注意到“a>-1”,“a<-1”及“a=-1”是“a∈R”的情形，所以原解题过程要以简化为：

令u=2x>0.

则原方程可变为：u2+au+a+1=0(1)

∵原方程有实根，

∴方程（1）有正根.

∴

=> a≤2-2

所以原方程有实根解时，a的取值范围是：(-∞，2-2],

合并后解答简单明了，一目了然。大家看还有什么疑问？

三、质疑

「生5」：x2+2x-3=0的两根是一正一负，且负根的绝对值大于正根，即对称轴在x轴上，而本题会不会对称轴在x轴的负半轴，仍然有一个根大于零呢？

[师]：我们让逻辑推理说话，若存在，则u1<0,u2>0,且u1>u2，

这时应有：

=>a∈φ

以上推理说明，这种情况不存在，也就是说，不必担心，u1<0,u2>0,且u1>u2的情形出现。

[生6]：我这样想，既然原方程有实根可转化为方程（1）有正根，问题可转化为：

解得：a≤2-2

點评：这是简化解答的等价形式。进一步指出了方程(1) 的大根必须大于零。

四、求异

你能用不同的方法解决这个问题吗？换一个角度看问题也许别有一番天地。

[解] 由（1）可得：a==-[(u+1)+-2]

≤2-2

当且仅当u+1==>即当，u=-1时"="号成立。

[点评]：换元后进行参变量分离，把a表示成u的函数，然后用重要不等式求最值，从而确定a的范围，思路自然，言简意骇，属于整体思想及变量分离思想的运用。

这节课教师在课堂中抬终占有主导地位，适时引导，释疑、点评，使学生的思路始终沿着正确的轨道发展。问题理念是勾通师生联系的渠道，师生互动有声有色，解题思路在探索与合作交流中逐步形成，回顾反思中使解题过程得以优化；质疑中，消除了学生不必要的疑虑，完善了学生的认知结构；求异中，展现了"柳暗花明又一村"的情景。一个方程有根的充要条件在预设中师生共同探究体验，在师生互动中生成。