反例教学与学生思维品质的培养

杨梅玲

摘 要：美国数学家B·R盖尔鲍姆说:“冒着过于简单化的风险,我们可以撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈,数学由两大类证明与反例组成,而数学发现也朝着两个目标——提出证明和构造反例。”可见反例在整个数学教学和研究中的作用。

关键词：数学； 反例教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1006-3315（2013）03-020-002

在数学史上, 恰当的反例也是推动数学发展的动力。常常有这样的情形,一个重要的猜想数学家很长时间没能证明它，结果有人举出一个反例否定了这个猜想,使问题得到了解决。

1644年,法国修道士马林·默森宣称MP=2P-1型的数,当P=2﹑3﹑5﹑7﹑13﹑17﹑31﹑67﹑127﹑257时都是素数(称为默森素数).其实它只验算了前面的七个。1903年美国数学家科尔作了一次无声的学术报告.他在黑板上先算出267-1,接着又把193707721×761838257287用竖式算了一次,两个结果完全相同,他没有说一句话,就回到了自己的座位上,会场上响起了暴风雨般的掌声,因为一个反例纠正了人们两百多年的误解。

在数学教学中,恰时恰当的运用反例,不仅可以加深学生对数学概念﹑性质﹑法则和定理的理解,而且可以培养学生的思维品质。本文试从以下几个方面略陈浅见。

一﹑利用反例培养学生思维的深刻性

在教学中,我们应重视对学生基础知识﹑基本技能的培养。基础知识教学主要是指概念教学和公式﹑定理教学等。其中概念是数学最基本的东西,它所描述的是事物的本质属性,是数学的基石。本质不清,不注重基石的作用,就很难真正意义上的理解数学,更不要想用好它或作进一步研究。因此概念教学极为重要，对概念教学仅从感性认识上理解是远远不够的，必须要揭示出它的内涵和外延。而对于一些相近易混的概念,通过构造反例,往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识,以便能够更好的理解概念。而对于公式﹑定理教学也是如此,学生往往会对一些关键词语认识不足，对所要求的条件理解不全,这时反例也能起到正面强调所起不到的强化作用。

例1:棱柱的定义

北师版必修3第一章《简单几何体》一节中,棱柱是这样定义的:有两个面相互平行,其余各个面都是四边形, 并且相邻两个四边形的公共边都相互平行, 由这些面围成的几何体叫棱柱。

有的同学认为这样的叙述啰嗦,建议改为:有两个面相互平行,其余各个面都是平行四边形”的几何体。

要纠正这种认知,给出反例如图1就够了。

学生通过这个图形可以深化对棱柱本质特征的

认识。

例2:函数的定义

在北师版必修1《函数》一章中讲到了函数的概念,多数学生在刚接触函数概念的时候,认为此概念较抽象,理解较困难,在此利用如下反例便可以加深学生对函数的理解。

下列图形是函数图象吗?(y关于x的函数?)

图2

例3:判断

等比数列{an}共有3n项,其前n项和为Sn,则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n也是等比数列”。

对于该命题多数学生认为是正确的。此时我们可以给出如下反例：设数列{an}为1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1…取n=2,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0，显然不是等比数列。

借此我们要强调：“公式、性质本身都很重要，但我们更要注意到它的适用范围”。

二、利用反例培养学生的严谨性

数学是一门严谨的科学，解决数学问题的思维过程也应是缜密的。教学中我们可以精选反例，加之我们精彩的讲授与学生的积极参与，就能提高学生的认识，激励学生上进的欲望。当然我们也需要引导学生从反例的线索引申开去，创造性的认识反例所反映的一般情形，独立发表自己的见解。

例4:多个单调区间中是用“和”还是用“∪”连接

教学中我们发现对于一个函数的多个单调区间求出后，总结时到底用“和”还是用“∪”连接，是学生最易犯的错误之一。要纠正这种问题，请看下面的反例：

我们知道函数f(x)=■在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数，但不能说在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。假如说函数f(x)=■在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上为减函数，依据函数单调性的定义知，在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）任意取x1，x2，且x1＜x2,当x1∈(-∞,0)，x2∈(0,+∞)时，应有f(x1)＞f(x2)，而事实上f(x1)＜f(x2)如图3：

由此我们可以抓住时机，剖析其原因，并加以总结，可有效地提高学生的思想认识，预防同类错误再发生，对培养学生良好的学习习惯和思维的严谨性都有着重要的意义。

三、利用反例培养学生的敏捷性

我们知道凡从正面肯定不易而从反面否定较易的时候，均可通过构造反例来解决。

例5：已知集合A=x f(x)=0,B=x g(x)=0,C=x f(x)g(x)=0則必有（ ）

A、C=AYNB、C=AIBC、C?哿AYB D、C?哿AIB

本题大部分同学都选择了A，此时只需举一反例便可否定它。如：A={xx+1=0=-1，B=x■=0=1，AYB=-1,1则C=x(x+1)■=0=1，此时C≠AYB。

例6：（08年全国Ⅱ,理工农医类22题）

设函数f(x)=■

（1）求f(x)的单调区间

（2）如果对于任何x≥0都有f(x)≤ax，求a的取值范围。

本题第二问我们可以这样分析：

令g(x)=ax-f(x)则g'(x)=a-■=a-■+■

=3(■-■)2+a-■

故当a≥■时，g'(x)≥0，又g(0)=0，所以当a≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≤ax

但当0＜a＜■及a≤0时，不易正面证明，此时便可通过构造如下反例来说明：

当0＜a＜■时有f(■)=■=■，0＜a·■＜■=■，显然4+■＜■，所以f(■)＞a■

当a≤0时有f(■)=■＞0≥a·■

所以构造反例不仅可以速解选择题，也可速解解答题，尤其是在否定有关命题时更有效。

当然在教学中，对反例运用要精选，做到真实、生动，更要有典型性、针对性，才能发挥它的有效性。

参考文献：

罗曾儒《数学解题学引论》