抽象函数问题解法归纳

周蓉

摘 要：中学数学里出现的函数，大多数是由解析式表达的，但也有函数没有给出解析式或只给出一段解析式，即抽象函数。就抽象函数应用的几种类型进行整理、归纳。

关键词：抽象函数；转化思想；数形结合

近几年来，经常在各种考试中出现与抽象函数有关的试题，这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此学生往往感到难以捉摸，无从下手。

本文就抽象函数应用的几种类型整理、归纳如下。

一、数形结合

数形结合是一种重要的数学思想，在解决抽象函数问题时，利用数与形的辩证统一和各自的优势尽快得到解题的途径。

例1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=-f（x），且在区间[0，2]上是单调增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= 。

二、转化思想

数学中问题的解决都离不开转化，通过转化，能将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的、易解的或已经解决的问题，使问题便于解决。

例2.已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调增函数，若f（1）

三、运用性质

函数有些性质，在解题中若能灵活运用，往往能使问题顺利解决。

例3.若函数f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则方程f（x）=0在区间[-10，10]上有 个实数解。

四、特殊化策略

当填空题暗示答案是一个“定值”时，我们可以取一个（些）特殊值来确定这个“定值”，通过特例分析，节省推理论证的过程，获得解题的重要信息，达到简缩思维过程、降低推算难度的目的。

例4.已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）·f（x），则f（f（■））= 。

五、抽象函数定义域的求法

例5.若函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，则函数y=f（x+■）+

f（x-■）的定义域为 。

六、抽象函数单调性的判断

例6.定义在R上的函数f（x）满足：对于任意实数m，n总有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x>0时，0

七、抽象函數奇偶性的判断

例7.已知函数f（x）定义域为D={x/x≠0}，且f（x）满足：对于任意实数m，n∈D，总有f（m·n）=f（m）+f（n），证明：函数f（x）是偶函数。

（作者单位 江苏省上冈高级中学）

？誗编辑 董慧红