初中数学“概念课”教学模式探索

于清

数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志，对于当今社会每一个有文化的人士而言，不论他从事何种职业，都需要学习数学、了解数学和运用数学。作为中学数学教师的我们，不仅要掌握数学教材与教法，更应该深入钻研教材和教育对象，从更广阔的视角出发为学生创造发展提供更大的空间。也只有更深刻地了解学生，实事求是的根据学生的实际情况，采取具有针对性的教学方法和教学策略，培养和发现学生的创新能力，进行素质教育。让数学回归生活有利于学生学习兴趣的培养，有利于提高学生的创新思维。

现代教学观认为，教学是通过教师的努力来促进学生学会学习的过程；新课程改革要求教师要关注每个学生的个性发展；现实的升学压力要求我们要构建高效的课堂模式，在有限的课堂教学时间内取得最丰富的学习效果……种种迹象都在提醒着我们，课堂教学改革势在必行，必须提高效率，掌控节奏，探讨出更适合目前学情的教学模式，我们的教育才能成功转型，学校的教学才会更有效，学生的学习才能更精彩。

《义务教育数学课程标准》中有这样的一段话：“在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生会用数学的思考方式解决问题、认识世界。”

其中，数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构筑理论大厦的基石，是进行判断、推理的基础，是解决问题的前提。因此，数学概念在数学教学中有着不容忽视的地位。长期以来，在数学教学中存在忽视概念的形成过程，把概念变成简单的“条文”加例题的现象，导致概念的形成与获得概念是两个不同的过程，造成数学中的概念教学始终是一个难点。

在创建高效课堂理念的指导下，立足于新课程的教材观、学习观、学生观、教师观和课堂观，结合本学科的特点，初步探索了“概念课”的课堂教学模式，是否为高效的课堂，还有待进一步探索和发现，现以九年级上册“圆与圆的位置关系”为例加以解说。

一、创设情境，提出问题

在生活中，我们往往对做过的事情印象最深，学习也一样，自己感受过的，想了解它的愿望也最强烈。数学课堂中，创设“生活数学”情景就是模拟生活，再现生活，使课堂教学更接近现实生活，使学生如临其境、如见其人、如闻其声，加强感知，突出重点，突破难点，激发思维。在中学数学课堂教学中虽然许多内容都不能模拟生活场景，但教师要有意识地将现实问题数学化，将数学生活化，有助于学生对数学知识的更进一步的理解和掌握。著名教育家苏霍姆林斯基说：“如果教师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识能使人产生冷漠的态度，而使不动感情的脑力劳动带来疲劳。”实践证明，教师导入得好，就能吸引学生，把学生引入无比瑰丽的知识世界，唤起学生的求知欲望，燃起学生的智慧火花，使学生积极主动地思维。

疑能引思，思则生趣，利用具体又实际的问题引发学生的“思”，就会让课堂效果更加不一般。而学生在解决具体问题时，有时会出现下面的情况：一是如果不学习新知识，则问题无法解决；二是解决问题后，要说明解题过程的正确性，必须用到新的知识。这些情况都可以引发问题情境，问题以生动活泼、贴近生活，能引进学生的兴趣，激发认知冲突为目的。例如，本节课是以香港的回归历程创设情景，让同学们眼前一亮，立即激起探究的欲望。

创设情境：

假设祖国就是一个大圆，香港就是一个小圆，从签署条约被分割出中国，到有了第一次的谈判，到有了两方人们的沟通，到最后谈判成功，至1997年7月1日回归祖国。

提出问题：在这个过程当中，假设的这两个圆都经历了什么样的位置变化？你可以通过哪些要素来判断两圆的位置关系？

在黑板上画出一个大圆，并制作一个小圆，演示小圆的运动和大圆产生的位置关系的变化，让学生带着这个问题进入新课的学习，从新学习的内容中发现问题的答案。

二、探究引领，主动参与

本环节本着这样的前提：能让学生观察思考的，尽量让学生观察思考；能让学生表达的，尽量让学生表达；能让学生参与的，尽量让学生参与；能让学生做结论的，尽量让学生做结论。学生是学习的主体，学生要学习的是方法，感受的是事物发展的过程，学的是生存的技能，但是，学生这样的能力的培养是在老师的引领下才能变得有序和有效。比如，这个环节让学生自己动手画，同桌相互比较、探究、总结，分工明确，课堂气氛有序而不失思维的活跃，从而达到了锻炼学生的动手能力、观察能力、总结能力的目的，能培养他们探究的意识和团结协作的意识。

传统的数学概念课往往是这样的。老师给出概念让学生记忆，然后就是大量的练习，而对概念的形成过程往往忽略，这与新课程的理念严重违背，新课程要求我们的教学“要注重过程”，“探究引领”的这个环节就是在学生体验概念形成的过程中，给学生指明探究的方向和方式，起到对概念探究的引领作用，引导学生对概念有初步的、感性的、直觀的感知，使学生可以完整的、本质的获得概念的本质属性，有利于学生对数学本质的认识，促进学生数学思考。例如，本节课设计了一名同学在台上摆放两圆可能产生的位置。其他学生与同桌之间进行合作，充分发动每个学生都参与到探索圆与圆的位置关系，让每个学生都有事情可干，让每个同学都能积极思考，并可以和其他同学交流自己的看法。

根据问题的引导，学生就不会在探究的过程中迷失方向，就能够顺利地总结出结论，完成探究任务，通过自己的努力学会概念、理解概念，还能感受成功的喜悦。比如，上面的动态演示能让学生大体总结出：圆与圆应该有相离、相切、相交几种位置关系。

三、类比以往，得出结论

如果新的知识和以往的知识存在某种联系，那么学生就不难用类比的方式，得出相应的结论并准确归纳新的定义和定位，类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。比如，本节探讨的课题《圆与圆的位置关系》与《点与圆的位置关系》《直线与圆的位置关系》都有着很大的联系，因此，在类比前两种关系后，不难得出圆与圆的位置关系，但由于每种关系都有它的特殊性，因此，我们再进一步细化圆与圆的位置关系，包括与以往不同的情况，并作出总结，按照交点个数可分为“相离、相切、相交”三种大体的位置关系。

四、继续探索，量化结论

一位教研员说：“数学不是一个只看到了什么就结束的学科，我们更多的时候需要用量化的要求来阐述某种定义，或者是某种运算，达到解决实际问题的能力，才是真正数学要做到的事情。”因此，我们不只是从直观上给出定义，最后应该量化某种关系，让定义或者运算更加明确化。本课《圆与圆的位置关系》进一步量化的结果就是，在小圆的运动当中，观察两个圆的哪些对量发生了变化，哪些量没有发生变化，引导学生继续类比《点与圆的位置关系》《直线与圆的位置关系》，不难发现，两圆的半径没有发生变化，而圆心之间的距离发生了比较明显的变化，学生就能比较轻松的得出我们可以用圆心距和两圆半径的大小之间的数量关系，来刻画《圆与圆的位置关系》。

设两圆的半径分别为R和r，两圆的圆心距为d，则用如下数量关系可刻画出圆与圆的位置关系的五种情况。

（1）外离：R+r>d （2）外切：R+r=d （3）相交：R-r

（4）内切：R-r=d （5）内含：R-r>d

因为是几何图形，故还可以结合五种图形，给出相对应的简单量化证明，加深记忆。

五、训练达成

训练的目的是达成，新课程的学生观要求：要关注每一个学生，要让不同的人在数学上得到不同的发展，使大多数学生都能达到基本要求，所以，设计好练习题是十分关键的一环。练习题要求表述有亲和力，让学生体会生活中处处有数学，教学目标指向每个学生的“最近发展区”，练习要有利于总结规律，使知识上升为技能，提升学生的“最近发展区”，为后续知识学习埋下伏笔。 练习题要有人文性、层次性和开放性，要根据知识内容和体系有目的地突出重点、难点，还要做到重点知识反复练，又不能给学生增加负担。

例如，本节课的设计体现这些方面的有：

人文性：每一个小环节都用一个比较形象的名称。

层次性：把本环节内容根据知识发生发展的规律设计几个小环节，每个下环节之间有着密切的内在联系，使知识由浅入深，由单个知识点到综合运用，形成一个高潮。

开放性：在由例题进行举一反三时，把结论设置为开放性，以训练学生的思维的灵活性。

生活性：利用学过的数学知识，真正解决生活中的数学，就达到了数学生活化的目的。

当然，体现这几个性质的方法不只是这几种，我们只要通过不同的形式把它体现出来，学生就不会对练习题厌倦，当然也就不会对数学厌倦。本节课的设计如下：

（一）基础夯实

从学生的实际出发，可以把教材的内容加以整合，先从概念定义的加强理解出发加以训练，以达到对新的概念和定理正确深入的理解。

类型一：已知两圆位置关系，确定圆心距的取值范围

1.已知两圆的半径分别是3和7，圆心距为d，根据下列条件，确定d的取值范围。

（1）若两圆外切，则________；（2）若两圆内切，则_________；（3）若两圆外离，则_________；（4）若两圆内含，则 ；（5）若两圆相交，则_________。

类型二：已知圆心距，确定两圆的位置关系

2.已知两圆的半径分别是3 cm和7 cm，圆心距为d，根据下列条件确定两圆的位置关系.

（1）当d=12 cm时，两圆______；（2）当d=4 cm时，两圆______；（3）当d=2 cm时，两圆_______；（4）当d=10 cm时，两圆________；（5）当d=7 cm时，两圆________。

（二）小试牛刀

在对概念理解的基础上引出本节课的又一个重点——概念和定理的应用：首先是简单的应用，然后从简单的应用当中比较推理，由静到动，举一反三，触类旁通，以发展学生的智力培养能力为目的，达到巩固、运用新知识，深化新知识。

有利于培养学生思考的灵活性和敏捷性。

例题：

类型三：半径变化时，圆的位置关系的变化

3.已知⊙O的半径为5cm，OP=8cm

（1）⊙P与⊙O外切，则⊙P的半径为______（2）⊙P与⊙O内切，则⊙P的半径为_______

（3）⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为_________

圆与圆相切分为外切和内切，注意分类讨论思想。

4.问题：如图在网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，⊙A由图示位置以每秒1个单位的速度自左向右运动t秒.

问题：（1）当t为何值时，⊙A与⊙B外切？（2）当t为何值时，⊙A与⊙B相交？

5.定圆O的半径是4 cm，动圆P的半径是1 cm.

（1）设⊙O和⊙P相外切，点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？

（2）设⊙O和⊙P相内切，情况又怎样？

变式：若动圆P的半径是5 cm，则上面的两个结论又是什么情况？

当情况多样化的时候，需要分清状况，分类讨论，分类推进，缜密思维，以求出最正确的解。

六、生活数学，数学生活

数学的目的是为了解决生活当中的问题，并可以令数学生活化，体会数学的价值之处，这样才能让学生体會到学习数学的有用性，积极参与到数学学习当中来。

本节课设计了如下题目，体现这样的教学目的。

6.用半径R=8 mm，r=5 mm的钢球测量口小底大的直径d，测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=12.5 mm，b=10.5 mm，计算出内孔直径d的大小。

七、拓展创新

数学教育的一项重要任务就是培养学生的创新意识和创新能力，创新意识主要是指对自然和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。

学习概念就是为了在理解的基础上应用概念。而且当概念与知识、方法结合起来应用的时候，对学生的能力就是一种挑战，也是一次学习能力提升的机会。

八、问题解决

本节课开始时提出了问题，在本环节将问题深入研究，由生活中的实际问题，转化成纯粹的数学问题，建立实际问题的数学模型，应用本节所学的知识点解决数学问题从而达到解决实际问题的目的，感受数学建模在实际生活中的应用，利用概念的应用使得概念的学习得到升华，达到更高的层次。

如何将“概念课”中的概念教学进行延伸、拓展、创设，让其在日常教学工作中付于新的意义，这是在今后的教学工作中都要一直关注和探索的问题。本节课是对“概念课”的课堂教学模式的一个初步探索，定有不足之处，还请各位同仁批评指正！

（作者单位 广东省广州市广东实验中学）

编辑 代敏丽