函数、等差数列“牵手”研究

陈鹏

摘 要 函数、等差数列这部分知识是初等数学和高等数学的一个衔接点，历来是高考考查的重点。在高中数学学习中，如果用函数方程的思想来研究数列，尤其是等差数列，往往能起到事半功倍的效果。

关键词 函数；等差数列；数据研究；一次函数

函数在高中阶段非常重要的一个数学阶段，它贯穿于整个高中数学课程中。用函数思想解决有些问题要比用普通方法简单、轻松。在日常教学过程中，教师和学生都应不断挖掘数学学习中蕴含的函数思想，从而更深刻地理解函数概念。 一、函数、等差数列“牵手”

函数是贯穿整个高中数学课程的一条主线，这条主线链接着高中数学课程的许多内容，来分析如下教学案例。在高三这个阶段，同学们已学习了数列的基本知识和基础函数的应用，其实函数和数列存在着千丝万缕的联系。那么我们可以尝试将等差数列和一次函数结合起来，在等差数列中我们通常用通项公式来求数列的相关量，而等差数列{an}的通项公式为（n R），an可以看做n的一次函数（特殊地，d=0为常数函数），也就是说数列可以直接看成特殊的函数，那么在数列中很多问题都可以应用函数来解决了。

例一：

（1）求等差数列8，5，2，...的第20项。

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，...的项？如果是，是第几项？

解：（1）因为（1，8）、（2，5）、（20，a20）是同一直线上的点。 所以，解之得a20=-49

（2）由题意可知，所求问题就是求n是否为正整数的问题。因为（1，-5）、（2，-9）、（n，-401）是同一直线上的点。所以，解之得n=100。故-401是这个数列的第100项。

总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

数列是一种特殊的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数列。差数列会是什么样的函数，首先研究等差数列的通项公式，因为它体现了数列的项与项数的对应关系在等差数列{an}中，公差为d（d是常数）。当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数。所以，通项an可以写成关于n的一次函数形式是an成等差数列的充要条件。当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当d=0时，an不是关于n的一次函数.只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究。但不管公差d是否等于0，我们都可以认为an分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率，这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，这实际就是是在用函数思想来研究数列。

二、等差数列的通项公式

例二：数列an是等差数列的充要条件是它的通项an可以写成关于n的一次函数的形式。若an是等差数列，公差为d，an 是关于n的一次函数。若an可以写成关于n的一次函数，即：an=An+B（A、B为常数）则：an+1-an=〔A（n+1）+B〕-（An+B）=A所以an是以A为公差的等差数列

根据一次函数的图象是一条直线知：等差数列an中的任三点（m，am）（p，ap）（q，ap）共线。已知等差数列（an）和第n项为1997，第1997项为n，求数列的第n+2000项。解：因为{an}是等差数列，所以点（n，1997）（1997，n）（n+2000，an+2000）三点共线，所以an+2000=-3。

例三：已知当x=5时，二次函数f（x）=ax2+bx取得最小值，等差数列{An}的前n项和Sn=f（n），A2=-7。求数列{An}的通项公式。

解：因为S2=A2+A1

A1=S1=f（1）=a+b

S2=f（2）=4a+2b

所以A2=S2-S1=S2-A1=4a+2b-a-b=3a+b=-7

又因为

当x=5时f（x）=ax2+bx有极小值

所以可推算出

函数f（x）与x轴交点在0，10处及x1=x2=10

有10a+b=0与3a+b=-7联立解得：a=1，b=-10

那么数列的通项公式为：An=Sn-Sn-1=n^2-10n-[（n-1）^2-10（n-1）]=2n-11

三、等差数列的前n项和公式

在掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质以后，要进一步研究等差数列的前n项和公式。而在解决函数问题时我们通常选择画图，如果将前n项和公式也看成一个特殊函数，利用图像来解决问题，是不是会更简单呢？

例四：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9<0，S10>0，则此等差数列的前n项和中n是多少时取得最小值？

分析：等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数，常数项为0，因此函数的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差大于0。如图1对应的抛物线，开口向上，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当n=5时，Sn最小。

总结：

数列这部分知识是初等数学和高等数学的一个衔接点，是高考考试中的关键拿分点。在高中数学学习中数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析数列作为一种特殊的函数，更是与函数思想密不可分。而现行教材中对于函数思想在数列中的应用涉及较少，但这一点对于加深学生对数列的认识，提高学生分析问题、解决问题的能力是十分重要的。所以，广大教育工作者们应与时俱进，把握好函数、等差数列“牵手”进行专项课题研究。