完全市场情况下多阶段均值-VaR投资组合优化

张 鹏，张逸菲

(武汉科技大学管理学院， 湖北 武汉，430081)

投资组合是分散投资风险的有效途径。20世纪50年代，Markowitz使用方差来度量投资风险，提出了均值-方差单阶段投资组合理论，奠定了现代金融学的基础，但其模型不能很好地满足实践需求，故许多学者试图寻求新的风险度量标准以及在新准则下的投资组合模型。20世纪80年代，针对不同类型的资产在度量风险时要使用不同方法这一缺陷，摩根大通公司的风险管理人员提出了管理资产风险的VaR(Value at Risk)方法[1]。Alexander等[2]将VaR与均值-方差联系起来分析，验证了均值-VaR投资组合选择标准与效用最大化的不一致性。Consigli[3]研究了肥尾分布情况下均值-VaR投资组合模型。国内也有许多学者研究了单阶段单均值-VaR投资组合模型，并探讨了其有效前沿的结构特征[4-8]。

上述研究仅考虑静态(或单阶段)的投资组合问题，然而机构投资者的投资行为往往是长期的。长期投资者将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸,这就是多阶段投资组合选择。直到20世纪末,一般的多阶段投资组合模型都是效用函数模型,而收益-风险型多阶段投资组合选择模型却很少被研究。均值-方差分析在现代金融理论中有着重要的地位,从一开始就受到高度重视。由于多阶段均值-方差模型的目标函数不具有可分离性，因此其求解是很困难的。Li等[9]在这方面的研究首先取得突破，他们用嵌入的方法把多阶段均值-安全首要投资组合模型转变为一个能用动态规划处理的问题,从而得到了最优投资策略及有效前沿的解析表达式。此后多位学者对其研究进行了相应的拓展[10-16]。

本文提出完全市场情况下终期财富最大化的均值-VaR多阶段投资组合模型，拟采用嵌入式方法将该模型不可分离的目标函数转化为可分离的，并运用动态规划方法求其解析解及有效前沿。

1 多阶段均值-VaR投资组合模型

(1)

模型(1)可以简化为

(2)

假设E(rt(rt)′)是正定矩阵，即

E(rt(rt)′)=

(3)

根据式(3)可得

(4)

由式(4)可得

∀t

(5)

和

(6)

风险价值VaR是指在一定的置信度(概率水平)下，某一金融资产或投资组合在未来特定的一段时间内最大的可能损失[2]。

定义1设投资组合的期望收益率为rp, 称

P(rp<-VaR)≤1-c

(7)

为VaR约束，式中:c为常数(1/2≤c≤1)。式(7)表示投资组合的收益率超过-VaR的概率不低于c。

单个资产的收益率一般不服从正态分布，但当资产数目较多(n≥128)时，资产组合的收益率基本服从正态分布[17]。

定理1当投资组合中n种资产的收益率服从正态分布时，式(7)可化为

VaR≥Ф-1(c)σp-rp

(8)

式中：Ф(·)为标准正态分布函数，Ф-1(c)是置信度为c的正态分布函数的下分位点。

定理证毕。

完全市场情况下期终财富最大化的多阶段均值-VaR投资组合模型为

maxE(ST)

(9)

minVaR(ST)

(10)

式中：σ(σ≥ 0)和ε(ε≥ 0)分别是给定VaR(ST) 和E(ST)的预期值。

模型(9)和模型(10)可以转化为

maxU(E(ST),σ2(ST))=

(11)

式中：ω1≥0。

假设模型(11)的最优解为Π*，即Π*={π|π是模型(11)的最优解}。模型(11)的目标函数不具有可分离性，不能直接运用动态规划方法求解，故将模型(11)嵌入到一个辅助问题中，再运用动态规划方法求解。

2 辅助模型的构建

考虑模型(11)的辅助问题为

maxU2(E(ST),σ2(ST))=

E(ST)-ωσ2(ST)

(12)

式中：ω≥ 0。

假定UE和Uσ2分别为U关于E(ST)和σ2(ST)的偏导数，则

(13)

对于模型(13)的ω*(ω*>0)最优值的一阶必要条件为

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可得

定理证毕。

尽管模型(12)比模型(11)更加简单，但是模型(12)还是不具有可分离性。因此将模型(12)嵌入到以下辅助模型中：

(16)

证明：模型(16)可以转化为

(17)

(18)

对于模型(18)的λ*/ω*(λ*/ω*>0)最优值的一阶必要条件为

=0

(19)

(20)

由式(19)和式(20)可得：

λ*/ω*=

[-UE(π*)/Uσ2(π*)+2E(ST)]|π*=

定理证毕。

3 多阶段均值-VaR投资组合优化

运用动态规划方法可以得到模型(17)的最优投资策略如下[9]：

(21)

式中：

γ=λ/ω

(22)

(23)

t=1,…,T

(24)

边界值为

(25)

第t期财富值为

t=1,…,T

(26)

由于(et,Pt)和St在统计上是独立的，因此对式(26)两边取期望可得

E(St+1(γ))=

t=1,…,T

(27)

将式(26)两边平方可得

(28)

对式(28)两边取期望可得

t=1,…,T

(29)

设

t=1,…,T

(30)

t=1,…,T

(31)

t=1,…,T

(32)

(33)

(34)

根据式(30)～式(34)，式(27)和式(29)可转化为

(35)

(36)

由式(35)和式(36)可得

(37)

假设

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

则式(35)和式(36)可转化为

E(ST)=μS1+vγ

(43)

(44)

定理5模型(11)的有效前沿在{E(ST),VaR(ST)}空间为

VaR(ST)=Φ-1(c)·

(45)

证明：根据式(43)可得

(46)

将式(46)代入式(44)可得

VaR(ST)=Φ-1(c)·

定理证毕。

将式(43)和式(44)代入模型(11)中的目标函数可得

U=(1+ω1)(μS1+vγ)-

(47)

式(47)左右两边对γ求导可得

则

γ*=bS1+

(48)

将式(48)代入式(22)～式(25)可得模型(11)的最优投资策略，也可以得到每期末财富值。

4 算例

E(rt)=[0.122,0.206,0.188]′,t=1,2,3,4

t=1,2,3,4

将A作为参照风险资产，计算可得:

E(Pt)=E[rB-rA,rC-rA]′=[0.084,0.066]′，

E(rArB)=Cov(rA,rB)+E(rA)E(rB)=1.4666，

E(rArC)=Cov(rA,rC)+E(rA)E(rC)=1.4414，

E(rBrC)=Cov(rB,rC)+E(rB)E(rC)=1.5404，

[0.1017，0.0766]。

多阶段均值-VaR投资组合模型的最优投资策略为

其中，

投资组合终期财富的期望收益率和VaR分别为

E(S4)=2.1623,σ2(S4)=0.1356。

5 结语

本文将VaR风险度量方法拓展到多阶段投资组合模型，运用嵌入式方法将不可分离的模型转化为可分离的，并运用动态规划方法得到模型的解析解和有效前沿，为投资者提供投资决策支持。后续将进一步研究摩擦市场情况下终期财富最大化多阶段投资组合决策问题。

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