一类非线性偏微分方程的n-孤子解

李 伟

(渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013)

0 引 言

非线性偏微分方程(组)的解法受到如数学、物理学、工程学和生物学等各个学科工作者的广泛重视,孤子是非线性的一个重要特征,在许多科学应用中都有它的身影。许多系统的方法被用来求非线性偏微分方程(组)的孤子解。为了寻求它们的解法,科学家做了大量而有益的工作,同时得到了一些行之有效的求解方法,如分离变量法、反散射方法、Backlund变换法、Darboux变换法、tanh函数法、Riccati方程法[1-7]、Hereman-Nuseir方法[8]、Hirota的双线性方法[9-15]等。本文借助于行波变换法[16],A=0且B=0为Af+B=0成立的条件获得了(2+1)维Burgers方程[16]和Kdv方程的n-孤子解。

(2+1)维Burgers方程和Kdv方程如下:

1 (2+1)维Burgers方程

对于式(1),令

(3)

uyt=uxxy+2uxyux

(4)

首先将Cole-Hopf 变换

u=lnf(x,y,t)

(5)

代入式(4)得

f(fyt-fxxy)-fy(ft-fxx)=0

(6)

令

(7)

为了得到单孤子解,设

f=1+eθ1,θ1=p1x+q1y+r1t

(8)

(9)

其中p1,q1为任意常数,将式(5)、式(8)和式(9)代入式(3)获得式(1)的単孤子解为

(10)

寻找如下形式的双孤子解:

(11)

其中:p1,p2,q1,q2为任意常数;a12为待定常数。

将式(11)代入式(6)得

a12=0

(12)

将式(5)、式(11)和式(12)代入式(3)可得双孤子解为

(13)

寻找如下形式的三孤子解

f=1+eθ1+eθ2+eθ3+a12eθ1+θ2+a13eθ1+θ3+a23eθ2+θ3+b123eθ1+θ2+θ3

(14)

将式(14)代入式(6)解b123,这里采取与求双孤子解相同的方法解以b123为未知量的方程,不再具体表述过程,得

b123=0

(15)

将式(5)、式(14)和式(15)代入式(3)可得三孤子解为

(16)

2 KdV方程

首先将Cole-Hopf变换

u=2(lnf(x,t))xx

(17)

代入式(2)得

(18)

令

(19)

为了得到单孤子解,设

f=1+eθ1,θ1=p1x+r1t

(20)

(21)

其中p1为任意常数。

将式(20)和式(21)代入式(17)获得式(2)的単孤子解为

u=2(ln(1+eθ1))xx

(22)

寻找如下形式的双孤子解

(23)

其中p1,p2为任意常数,a12为待定常数。

将式(23)代入式(18)得

(24)

将式(23)和式(24)代入式(17)可获得式(2)的双孤子解为

(25)

其中p1,p2为任意常数。

寻找如下形式的三孤子解

(26)

其中p1,p2为任意常数,b123为待定常数。

将式(26)代入式(18)解b123,这里采取与求双孤子解相同的方法解以b123为未知量的方程,不再具体表述过程,得

b123=a12a13a23

(27)

将式(26)和式(27)代入式(17)可获得式(2)的三孤子解为

(28)

其中pi(i=1,2,3)为任意常数。

3 结 论

利用将Cole-Hopf 变换、A=0且B=0为Af+B=0成立的条件获得了(2+1)维Burgers方程、Kdv方程的精确解,这种方法也用于解其他非线性偏微分方程(组)。精确解的获得将为近似计算,定理分析等现实问题提供必备的基础。