依托学习起点，构建数学知识

周兴苗

[摘 要] 数学教学要依托学生的学习起点，在了解学生起点的基础上选择合适的教法，设计针对性的学法，调动学生的学习主动性. 本课时让学生经历摸一摸、涂一涂等操作活动，主动构建面积的含义，经历摆一摆、比一比等活动体验到统一面积单位的必要性，从而发展学生的空间观念.

[关键词] 学习起点；操作体验；构建

教学前测

“面积”是在学生初步掌握长方形和正方形的特征等知识基础上进行的学习，它为以后学习平面图形的面积计算作准备. 为了了解学生的学习起点，引领学生更有效地开展学习活动，教学前我对学生进行了前测，并以此为依据指导学生进行相关的学习活动. 具体的教学前测如下：

1. 如图1，要给一幅照片做一个外框是木条、里面是玻璃的镜框，做这个镜框时需要多大的玻璃？这个“多大”指的是这个镜框的（ ）

A. 质量 B. 面积 C. 周长

2. 图2中的图形有面积吗？有面积的请用红色涂出表示面积部分的形状.

3. 你知道什么是“面积”吗？请举例说明.

4. 要比较图3中两个长方形的面积哪个大，你会怎么办？

根据前测获得的信息，学生的学习起点简析如表1.

经验起点：现实生活中学生结合实物能较好地区分周长和面积，但是对抽象的“面”的概念比较模糊，缺乏实际经验. 在比较两个长方形面积大小的过程中，借助一个小图形先测量再比较的学生寥寥无几，绝大部分学生没有这样的活动经验.

知识起点：结合操作，大部分学生能涂出具有面积的平面图形，但是对“只有封闭的平面图形才能有面积”理解不够，同时在描述“面积”概念时存在一定的困难，通常借助画图来说明，这表明学生对抽象的面积概念的理解依赖于直观的图示.

认知起点：由范希尔的几何思维水平可知，本学段的学生几何思维水平还停留在“直观水平——整体地认识几何对象”阶段，能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括的论述. 这个学段学生学习数学的心理特点还不是很稳定，学习兴趣受制于学习内容能否吸引学生的注意.

教学对策：教学时要调动学生的学习主动性，设计丰富的学习活动，让学生经历摸一摸、涂一涂等操作活动感悟面积的含义，经历摆一摆、比一比等活动体验到统一面积单位的必要性. 引导学生通过观察、比较、交流、归纳等学习方式构建数学知识，在动手、动眼、动脑的过程中学习几何概念.

感悟与反思

基于上面教学前测的分析，并经历“面积”这一内容的教学实践，下面谈谈根据前测指导学生学习的所思、所悟.

感悟一：通过摸一摸、涂一涂等活动构建面积的概念

片段1：感悟物体表面的面积

1. 比较国旗的大小

师：图4是两面国旗，它们有什么不一样？

生（齐）：大小不一样.

生1：左边国旗的面积比右边国旗的面积大.

师：国旗的面积指的是哪块图形的大小？请你上来指一指.

生1：（学生踮起脚，边说边用手掌示意把国旗全部摸到）国旗表面这一整块的大小就是国旗的面积.

师：整个国旗表面的大小就是国旗的面积. （电脑动态演示国旗的面积）

2. 建立面积的表象

师：国旗表面的大小是国旗的面积. 有一个物体，你能指出表示它表面面积的那一部分吗？

（1）学生动手操作.

（2）全班汇报交流.

生2：课桌表面的大小就是课桌表面的面积.

生3：文具盒表面的大小就是文具盒表面的面积.

生4：数学书封面的大小就是数学书的面积.

师：我们一起拿起数学书来摸一摸数学书封面.

师：和这个面面积相等的面在哪里？我们一起来摸一摸. 数学书上还有其他的面吗？谁来摸一摸？一共有几个面啊？

师：数学书一共有6个面，有的面面积大，有的面面积小，相对的面面积相等.

3. 小结面积的含义

师：通过刚才的摸一摸、比一比，我们发现物体的表面有的大，有的小，物体表面的大小就是它们的面积. （板书：物体表面的大小，就是它们的面积）

前测中反映学生结合具体的实物感受面积比较容易，有90%的学生能理解玻璃的大小就是镜框的面积，但是学生头脑中缺乏“面”的概念，对面积的经验往往停留在具体的实物表象. 由范希尔理论可知，本学段的学生几何思维水平还停留在“直观水平——整体地认识几何对象”层次，这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识、命名、比较和画出这些图形”. 小学阶段的数学概念，多以描述性为主，教学时应尽量采用直观的方式（物化面积），让学生多感悟、多体验. 因此，上课伊始，我设计了借助国旗感知国旗面积的学习活动，让学生经历一个感性认识面积的过程，经过教师不断的追问，让学生对面积的经验由模糊到逐步清晰. 在此基础上，我又设计了找身边的物体感知面积的活动，并借助数学书本，让学生感知不同表面的面积，同时通过相对面的面积比较，进一步感悟面积的大小是由二维决定的，即由长和宽决定，以及初步感悟长方体相对面面积相等的特征. 这样在动手、动脑、动口的过程中，学生不但感悟了面积就是“物体表面的大小”，还用规范的数学语言进行面积概念的描述，并在大脑中逐步构建了面积的表象.

片段2：理解封闭含义，构建面积概念

4. 涂一涂，感知封闭图形的面积

师：我们知道了物体表面的大小就是它们的面积，那图6中的四个平面图形都有面积吗？如果有面积，请你用颜色涂出面积部分的图形形状.

（课件出示，学生动手操作）

师：我们来欣赏这个同学涂的作品，请他说说涂的时候是怎么想的.endprint

师：我们结合电脑看看长方形的面积指的是哪个部分的大小. （电脑动态演示长方形的面积，绿色涂到右边剩下1小格）

师：绿色的这块是长方形的面积吗？

生5：不对不对，还没有涂满.

师：哦！那表示长方形面积的图形要怎么涂呢？

生6：把里面全部都涂满，不能空也不能涂到外面.

生7：整个长方形的大小就是它的面积.

师：（电脑动态继续涂色，演示长方形的面积）哦！现在我们涂出了表示长方形面积的那部分形状，那表示其他几个图形面积的图形形状我们也来涂一涂吧！

师：第四个图形有些同学没有涂色，为什么呢？

生8：这个图形有个缺口，我不知道涂到哪里为止.

生9：这个图形没有封闭，可以一直涂，涂也涂不完.

生10：上面三个都是封闭图形，这个图形不是封闭的，我想它是没有面积的.

师：说得真好！刚才三个都是封闭的平面图形，这个图形没有封闭，那涂色的时候会出现什么情况呢？（电脑动态演示涂色过程）可以一直涂到外面去，那它的面积就无法确定啦！

师：我们把这个图形怎样变化一下，就可以涂出它的面积呢？

生11：只要把这个缺口封闭就可以了！（结合学生回答，电脑演示封闭的过程，再涂色）这样可以涂出它的面积了吧！

师：封闭图形的大小就是图形的面积. （教师板书：封闭图形的大小就是图形的面积）

5. 归纳面积的含义

师：通过刚才的研究，我们现在知道了物体表面或者封闭图形的大小叫做它们的面积. 我们一起来读一读.

前测中，三个封闭图形涂出面积时学生的正确率有95%以上，表明学生对平面图形的面积并非一无所知，而学生对于只有封闭图形才能涂出面积则理解不足，只有35%的学生是正确的. 因此，在教学平面图形的面积概念时可先设计涂色活动，在三个封闭图形后放置一个不封闭的图形，让学生独立尝试以引起学生的思考，再结合学生的涂色作品讨论、交流，初步感悟平面图形的面积，接着以长方形为例通过课件的动态演示让学生建立平面图形面积的正确表象，并借助“第四个图形你们为什么不涂”的问题，结合课件的动态演示让学生体验不封闭的图形涂色时可以一直涂下去，从而理解不封闭图形的面积无法确定，最后设计追问“把这个图形怎样变化一下，就可以涂出它的面积呢”，使学生进一步加深只有封闭图形才有面积的理解. 经过上述环节的教学，学生头脑中面积的表象越来越清晰，突破封闭图形才有面积的理解障碍后，学生对封闭图形的大小就是它的面积的理解就水到渠成啦！

“面积”是什么？说不清，道不明，因而在理解面积含义的过程中，我给学生提供了大量直观的体验活动，让学生借助身边的物体，经历找一找、摸一摸、涂一涂等数学活动，实实在在地感悟与“面积”相关联的图形是什么，进而归纳出面积的含义. 这样的设计既尊重了学生的学习起点，又遵循了数学知识内在的逻辑结构，也考虑到了小学生的学习心理和认知规律，学生经历了有效的数学活动，逐步构建了面积概念，并积累了相应的数学活动经验.

感悟二：结合摆一摆、比一比的活动体验统一面积单位的必要性

片段3：借助数学书本比较面积的大小

师：数学书本封面的面积和课桌面的面积比一比，谁的面积大？

生12：课桌面的面积大.

师：估一估，大约需要几本这样的数学书本才能铺满课桌面？

生13：大约6本.

生14：大约10本.

生15：大约8本.

师：你是怎么估的？

生16：我先估计沿着长边大约放4本，再沿着宽边估计放2本，所以是8本.

师：那到底是几本？我们一起来摆一摆吧.

……

师：刚才老师在黑板上画了一个长方形，现在这个长方形和课桌面比一比，谁的面积大？你有什么好的方法来比它们面积的大小？

生17：我们刚才用数学书铺了课桌面，大约需要8本，现在只要用数学书去铺黑板上的长方形，看看铺的结果再来比较大小.

师：讲得真不错！我们不能直接比较两个面积的大小时，借助数学书本这个标准去测量，根据测量得到的个数再来比较真是一个好方法. 我们一起来试试！

……

前测中反映出在比较两个长方形面积大小时，学生缺乏借助一个标准先测量再比较面积大小的活动经验，为此，我因势利导设计了借助数学书本来比较两个面面积大小的数学活动，不但培养了学生用一个标准（数学书本）来估计并测量物体面积的方法和意识，更让学生积累了用一个物体作为测量标准，通过先测量再比较面积大小的数学活动经验，为下面研究用测量法来比较两个长方形的面积做好经验上的积累和方法上的铺垫.

片段4：借助操作体验统一面积单位的必要性

1. 讨论交流：怎样比较两个长方形面积的大小？（出示：3 cm×5 cm和2 cm×7 cm的两个长方形）

……

生18：也可以像刚才用数学书摆课桌的方法，用一个小的图形去长方形上摆一摆，看看能摆几个，再比较！

师：你们真会动脑筋，看来现在我们需要找一个测量面积的标准，也就是找一些小图形先摆一摆，再数一数，然后比较面积的大小.

2. 动手操作，体验测量时统一面积单位的必要性

（1）操作体验

师：4人小组合作，利用学具袋中的图形先测量长方形的面积，再比较，看看有几种不同的测量方法.

（2）汇报交流

①质疑为什么不用圆形作为测量“标准”.

师：刚才老师发现大家都没有选择圆形来摆，为什么呢？

生19：圆形铺的时候中间有空隙，这些圆的面积不能表示出长方形的面积.endprint

师：看来测量的图形铺的时候彼此间不能有空隙，也即是要密铺，所以用圆形作为标准进行测量不合适.

②体验比较面积大小要用相同的测量“标准”.

师：刚才有一组同学分别用小长方形和小正方形来测量，这样能比较出这两个长方形的面积吗？

生20：不能直接比较出两个长方形面积的大小，左边是10个小长方形，右边是14个小正方形，这样测量的两个图形不一样，不能比较.

生21：左边的图形用小长方形进行测量，右边的图形也应用小长方形来测量，这样才能进行比较，要嘛都用小正方形来测量.

生22：测量的时候要用一模一样的图形，否则就不能比较.

师：也就是，测量的“标准”要统一，这样才能进行比较.

③感悟小正方形作为测量“标准”更合适.

师：刚才大家讲到测量时这个标准要统一，要么都用小长方形，要么都用小正方形，那到底用什么图形作为测量的“标准”更合适呢？

生23：用长方形测量时，有时候不能得到整数个，刚才我们组摆到后面就空了一格，不能再铺一个啦，很不方便！

生24：用小正方形测量两个长方形时都正好，分别是15个、14个，很方便！

生25：用长方形测量时，有时可以，有时最后会铺不下，还是正方形好.

师：看来通过观察和讨论，大家都理解用正方形来测量比长方形更合适啦！那为什么正方形会更合适呢？比一比这两个图形的特征，你想到什么？

生26：长方形的长和宽不一样，测量时不但要考虑用宽边一端去铺能不能正好铺满，换个方向还要考虑用长边一端去铺看能不能铺满，而正方形的边长是一样的，无论怎么放置，测量结果都是一样的.

师：讲得真好！正因为正方形四条边都一样长，所以测量时只要考虑一边就可以啦. 所以用正方形作为测量面积的标准更合适.

前测中反映出学生缺乏在比较面积大小时借助一个小图形先测量再比较的活动经验，同时对正方形作为面积单位更合适理解不到位，为此，我借助一套自创的磁性教具，设计了如上教学环节：先让学生动手铺一铺，再通过三个层次的质疑、讨论，由圆形的不合适，到长方形的特殊性，最后到正方形的普遍性，结合电脑演示，让学生直观地体验到比较两个图形面积的大小时，不仅要选择合适的测量标准，还要用统一的标准去测量. 学生在动手、动脑、动口多种感官参与的操作活动中，积累了数学活动经验，自然而然地也体验到了比较面积大小时统一面积单位的必要性，同时能直观地感受到正方形作为测量标准的合理性.

经历“面积”一课，我深深地感悟到只有尊重学生学习起点和认知规律的教学设计才是有效的，教师要站在学生的角度去钻研教材、选择教法、设计针对性的教学环节，这样才能让学生在课堂中真正获得基础知识和基本技能，同时积累数学活动经验，感悟数学基本思想.endprint

师：看来测量的图形铺的时候彼此间不能有空隙，也即是要密铺，所以用圆形作为标准进行测量不合适.

②体验比较面积大小要用相同的测量“标准”.

师：刚才有一组同学分别用小长方形和小正方形来测量，这样能比较出这两个长方形的面积吗？

生20：不能直接比较出两个长方形面积的大小，左边是10个小长方形，右边是14个小正方形，这样测量的两个图形不一样，不能比较.

生21：左边的图形用小长方形进行测量，右边的图形也应用小长方形来测量，这样才能进行比较，要嘛都用小正方形来测量.

生22：测量的时候要用一模一样的图形，否则就不能比较.

师：也就是，测量的“标准”要统一，这样才能进行比较.

③感悟小正方形作为测量“标准”更合适.

师：刚才大家讲到测量时这个标准要统一，要么都用小长方形，要么都用小正方形，那到底用什么图形作为测量的“标准”更合适呢？

生23：用长方形测量时，有时候不能得到整数个，刚才我们组摆到后面就空了一格，不能再铺一个啦，很不方便！

生24：用小正方形测量两个长方形时都正好，分别是15个、14个，很方便！

生25：用长方形测量时，有时可以，有时最后会铺不下，还是正方形好.

师：看来通过观察和讨论，大家都理解用正方形来测量比长方形更合适啦！那为什么正方形会更合适呢？比一比这两个图形的特征，你想到什么？

生26：长方形的长和宽不一样，测量时不但要考虑用宽边一端去铺能不能正好铺满，换个方向还要考虑用长边一端去铺看能不能铺满，而正方形的边长是一样的，无论怎么放置，测量结果都是一样的.

师：讲得真好！正因为正方形四条边都一样长，所以测量时只要考虑一边就可以啦. 所以用正方形作为测量面积的标准更合适.

前测中反映出学生缺乏在比较面积大小时借助一个小图形先测量再比较的活动经验，同时对正方形作为面积单位更合适理解不到位，为此，我借助一套自创的磁性教具，设计了如上教学环节：先让学生动手铺一铺，再通过三个层次的质疑、讨论，由圆形的不合适，到长方形的特殊性，最后到正方形的普遍性，结合电脑演示，让学生直观地体验到比较两个图形面积的大小时，不仅要选择合适的测量标准，还要用统一的标准去测量. 学生在动手、动脑、动口多种感官参与的操作活动中，积累了数学活动经验，自然而然地也体验到了比较面积大小时统一面积单位的必要性，同时能直观地感受到正方形作为测量标准的合理性.

经历“面积”一课，我深深地感悟到只有尊重学生学习起点和认知规律的教学设计才是有效的，教师要站在学生的角度去钻研教材、选择教法、设计针对性的教学环节，这样才能让学生在课堂中真正获得基础知识和基本技能，同时积累数学活动经验，感悟数学基本思想.endprint

师：看来测量的图形铺的时候彼此间不能有空隙，也即是要密铺，所以用圆形作为标准进行测量不合适.

②体验比较面积大小要用相同的测量“标准”.

师：刚才有一组同学分别用小长方形和小正方形来测量，这样能比较出这两个长方形的面积吗？

生20：不能直接比较出两个长方形面积的大小，左边是10个小长方形，右边是14个小正方形，这样测量的两个图形不一样，不能比较.

生21：左边的图形用小长方形进行测量，右边的图形也应用小长方形来测量，这样才能进行比较，要嘛都用小正方形来测量.

生22：测量的时候要用一模一样的图形，否则就不能比较.

师：也就是，测量的“标准”要统一，这样才能进行比较.

③感悟小正方形作为测量“标准”更合适.

师：刚才大家讲到测量时这个标准要统一，要么都用小长方形，要么都用小正方形，那到底用什么图形作为测量的“标准”更合适呢？

生23：用长方形测量时，有时候不能得到整数个，刚才我们组摆到后面就空了一格，不能再铺一个啦，很不方便！

生24：用小正方形测量两个长方形时都正好，分别是15个、14个，很方便！

生25：用长方形测量时，有时可以，有时最后会铺不下，还是正方形好.

师：看来通过观察和讨论，大家都理解用正方形来测量比长方形更合适啦！那为什么正方形会更合适呢？比一比这两个图形的特征，你想到什么？

生26：长方形的长和宽不一样，测量时不但要考虑用宽边一端去铺能不能正好铺满，换个方向还要考虑用长边一端去铺看能不能铺满，而正方形的边长是一样的，无论怎么放置，测量结果都是一样的.

师：讲得真好！正因为正方形四条边都一样长，所以测量时只要考虑一边就可以啦. 所以用正方形作为测量面积的标准更合适.

前测中反映出学生缺乏在比较面积大小时借助一个小图形先测量再比较的活动经验，同时对正方形作为面积单位更合适理解不到位，为此，我借助一套自创的磁性教具，设计了如上教学环节：先让学生动手铺一铺，再通过三个层次的质疑、讨论，由圆形的不合适，到长方形的特殊性，最后到正方形的普遍性，结合电脑演示，让学生直观地体验到比较两个图形面积的大小时，不仅要选择合适的测量标准，还要用统一的标准去测量. 学生在动手、动脑、动口多种感官参与的操作活动中，积累了数学活动经验，自然而然地也体验到了比较面积大小时统一面积单位的必要性，同时能直观地感受到正方形作为测量标准的合理性.

经历“面积”一课，我深深地感悟到只有尊重学生学习起点和认知规律的教学设计才是有效的，教师要站在学生的角度去钻研教材、选择教法、设计针对性的教学环节，这样才能让学生在课堂中真正获得基础知识和基本技能，同时积累数学活动经验，感悟数学基本思想.endprint