基于多重期权法的中国可转债价值研究

杨春梅， 梁朝晖

（天津工业大学 经济学院，天津300384）

一、引 言

可转债是一种包含了债券、股票和期权特征的混合证券，由于其发行成本较低、延缓股权稀释效应等优点，使可转债成为了非常受发行人欢迎的、被广泛使用的复杂的融资工具。比普通债券复杂的是，可转债包含着很多的期权：投资者按照约定的价格在约定期限内将债券转换成公司股票的期权（转股权），投资者在一定条件下将债券按照约定价格回售给发行人的期权（回售权），发行人在一定条件下调整转股价格的期权（转股价格调低权），以及发行人在一定条件下赎回可转债的期权（赎回权）。如果把可转债视为一种衍生产品，一方面，它是包含了多个期权的复杂衍生产品，且多为美式期权；另一方面，投资者的最优转换策略和发行人的赎回策略相互依赖，因此，可转债所包含的各种期权不能求解并简单相加，而是要在双方的相互博弈中找出最优投资策略。因此，可转债的设计及合理价格一直是困扰理论界和实务界的难题。

将可转债视为期权组合的理论研究始于Ingersoll、Brennan和Schwartz，在他们的定价模型中，以“公司价值”作为标的变量，而可转债为写在公司价值上的多个期权组合［1］。后人在此基础上的扩展研究基本上基于两个方面：一是考虑到实际市场上更多的不确定性，在模型中加入除“公司价值”以外的新变量，扩展为多因素模型。例如，Brennan和Schwartz在该模型的基础上，加入第二个随机变量——利率，扩展为双因素模型，进而得出利率的变化对可转债价格的影响很小的结论，可以忽略不计［2］。Davis和Lischka提出了更为复杂的三因素模型，在他们的方法中，又增加了“违约风险”这个变动因素，将违约风险补偿考虑进股价漂移率之中，更加符合现实情况［3］。二是在单因素模型的基础上进行修正。例如，由于“公司价值”不能直接观察，McConnell和Schwartz提出将标的变量更换为“股票价值”，并在他们的模型中考虑了信用风险［4］。虽然只是在利率中加入一个恒定的信用价差，但相对于先前基于“公司价值”的模型来说，他们的方法更具有可操作性，且更贴近实际。Tsiveriotis和Fernandes注意到信用风险只与可转债的现金支付部分相关，且是不断变化的，于是他们提出一个“成分模型”来精确计算可转债中的信用风险［5］。成分模型的基本思想是把可转债划分为“股权价值成分”以及“纯债权价值成分”，后者与现金支付部分相关，包含信用风险，前者由于不含现金支付，而且公司股票总是可以交易的，所以不包含信用风险。虽然该作者在案例研究中忽略了赎回条件和回售条件，简化了转股条件，但是他们提出的“成分模型”能更合理地计算违约风险溢价，对于可转债更准确的定价研究开辟了新的思路。基于这个思路，学者们进而研究了可转债价值与其条款设计导致的“股－债”比例关系［6］。中国学者也进行了相关研究，张卫国等探讨可转债包含的路径依赖期权的估值［7］，对传统的最小二乘蒙特卡罗模拟定价方法进行了改进和个案验证。学者还进一步探讨了复杂期权的定价和在中国的应用研究［8］［9］。

从国内外研究结论来看，大多数学者认为可转债的实际价格低于理论价格。King和Carayannopoulos分别利用1977年的日数据和1989年的月数据，对美国市场的可转债理论价格进行了研究，发现市场价格比理论价格存在不同程度的低估［10］；Ammann、Kind和Wilde对1999～2000年法国市场的可转债理论价格研究认为，价格被低估，特别是当可转债的虚值程度越高的时候，其低估得越多；距到期时间越近，低估程度减少［11］。相反的结果不多见。Carayannopoulos和Kalimipalli研究发现，2001～2002年美国市场的可转债处于虚值状态时被高估［12］。在针对中国市场的研究中，大多数学者认为市场价格被低估，仅有赖其男等在对2005年数据进行分析时，发现理论价格低于市场价格［13］。

本文在考虑信用风险基础上，运用最小二乘法回归的蒙特卡罗模拟，考虑了回售条件、赎回条件和转股限制，将可转债视为以股价为标的资产的、包含多个期权的复杂衍生产品，探讨了适合中国市场的可转债定价方法。本文另外一个创新之处在于，在针对中国市场进行实证分析时，选取了2007年金融危机以后经济及股市下滑的阶段，发现与大多数实证相异的研究结果。

二、研究模型

由于可转债包含的转股、回售、赎回和转股价重置条款有特定的触发条件，多为美式期权，而且表现为路径依赖的特点。本文采用了Longstaff等提出的基于最小二乘法回归的蒙特卡罗模拟方法求解可转债的理论价格［14］。该方法便于分析各种边界条件，又解决了路径依赖的美式期权的估值困难。考虑到可转债包含的信用风险，采用Tsiveriotis等人的思路，将转债中包含的股性和债性分开来考虑。

1.考虑信用风险的资产价格运动方程

关于可转债包含的信用风险，可分为股权价值和现金价值两个部分。由于股票总是可以交易的，转股发生时发行人不存在违约问题；而发行人的违约只可能发生在与现金流支付相关的节点，例如债券还本付息时，或者当投资者行使回售权时，是有信用风险的。因而，将股权价值部分用无风险利率折现，将与现金支付相关的行为视为债权价值，用含有信用价差的折现率折现。

假定可转债的标的股票价格St服从以下几何布朗运动：

其中，μ为收益均值，σ为波动率，dWt为标准维纳过程。可转债的价格CB满足如下微分方程：

其中，C为可转债中现金部分的价值，满足以下微分方程：

图1 可转债条款包含的多重期权

其中，rc为信用风险溢价，f（t）为可转债的利息支付。

2.设置终端条件和边界条件

一般来说，可转债在不同阶段为投资者或发行人设置了不同的权利和义务（见图1），从而可转债被视为包含了多个期权的、写在标的股票上的复杂衍生产品。根据各期权的触发条件和可执行时间，可在相应节点处设定终端条件和边界条件。

可转债的赎回条款分为有条件赎回条款和到期赎回条款。到期赎回条款是指可转债到期日，发行人以赎回价格B赎回全部没有转股的可转债。该条款其实是赋予投资人一个欧式非标准期权，投资者到期可以选择转股或被赎回，从而设定终端条件，即：

其中，St为股票价格，B为赎回价格，CBT是可转债在到期日T的理论价值，n为转股条款规定的转股率。

沿二叉树图逐步进行倒推，计算各个节点可转债的理论价值。由于可转债可能因为转换、赎回和回售而提前终止，因此在每一个节点都必须逐一检查如下的各种边界条件。

可转债发行一段时间tc以后，进入转股期，投资者享有转股权利，相当于一个远期美式看涨期权，意味着转换边界条件，即：

即转债的价格一定不小于转股后的价格，否则存在套利机会。投资者可买入可转债，并转股抛售套利。

当可转债进入赎回期tp，赎回条件被触发（例如，触发条件为“出现可转债对应股票多个交易日的收盘价不低于转股价格的某个百分比情况”），发行人有权按比面值稍高的指定的赎回价格K赎回部分或全部可转债，该条款相当于发行人拥有一个美式看涨期权，从而可设定赎回边界条件，即：

即发行人可通过卖空可转债同时赎回可转债，从而进行套利。正常情况下，发行人都会在可转换债券的募集说明书中明确有条件回售条款。有条件回售是指，在进入回售期tr，公司股票价格连续低于转股价格并达到某一幅度时，持有人可按事先约定的价格P，将所持债券卖给发行人，以此来保障投资人利益。该条款为投资者的一个美式看跌期权。据此设定回售边界条件，即：

即可转债的价值如果小于回售价格，理性的投资者会执行回售权，获取无风险收益。

发行人为了避免投资人回售或到期不转股的现金支付，促进投资人转股，还会制定特别向下修正条款。该条款规定转债在一定的时期内，若标的股票价格表现不佳，持续低于一定水平，董事会将有权或无条件向下修正转股价格。当标的股票价格持续低于约定的价格，即St≤S0，则触发向下修正条款，公司可将原转股价格ST向下修正为δST，其中δ为修正幅度。向下修正条款相当于一个美式交换期权。

三、实证分析

1.研究方法和数据来源

本文采用基于最小二乘法回归的蒙特卡罗模拟方法求解可转债的理论价格。由于可转债包含了多个期权且边界条件较多，传统蒙特卡罗方法对边界条件的判断较为方便，而最小二乘蒙特卡罗方法则克服了传统方法对于路径依赖期权价值计算的困难。具体步骤为：

首先，模拟资产价格运动路径。按照股价历史运动规律，根据式（1）～（3），模拟出从初始计算时刻直到到期日的若干条离散的股价St路径和相应可转债现金支付Ct。

其次，估计关于“继续持有可转债可以实现的现金流”与“标的股票价格”的函数关系。在每个节点处，以各条路径上的当前股价St作为解释变量，以各条路径上前一节点的支付Ct贴现值作为被解释变量，利用最小二乘法估计在当前股价下“持有可转债”可以得到的“未来支付的贴现值”。

再次，求每条路径的最优执行策略。将上一步骤的估计值代入到边界条件中，判断当前节点处投资者是否转股或回售、发行人是否向下修正转股价格或赎回，从而得到当前支付值，并将其贴现到前一节点。

最后，得到可转债的理论价格。按照上述步骤，采用倒推的方法得到初始节点处的支付，取所有路径的初始支付均值，即为初始计算时刻的转债理论价格。

本文的研究角度是将可转债视为包含多个期权的复杂衍生产品，所以选取了中国市场上近年发行的、在条款设计上有特色和代表性的3个研究样本：双良转债、石化转债和中行转债。研究数据为2010～2012年的日交易数据。双良转债于2010年发行，2012年1月已停止交易，由于金融危机以后股市大幅下跌，双良转债最初设计的转股价格过高，虽然后来向下调整，但还是触发了大比例的回售；而石化转债和中行转债都是在熊市中发行，目前还在交易，这两只转债的发行量占中国当年可转债市场总量的1／3，发行目的都是为了提高资本充足率，设置了不可主动回售条款，且石化转债发行半年又再次发行转债，导致股价下挫，转股率很低，启动了转股价修正条款。这3只转债无疑在研究中国转债市场定价、发行人合约设计、以及期权对合约价值影响方面都具有研究价值。

标的股票的估计波动率σ，收益率μ等参数根据近2年的历史价格信息估计。信用风险溢价rc采用了郑振龙、林海关于公司债券信用风险的研究成果［15］，3年期和5年期公司债券的信用价差分别为0.90%和0.98%。

2.实证结果及分析

（1）中国市场的可转债近年来被明显高估了，而国内外大多数研究结果认为可转债价格是被低估的

图2和图3是双良转债、石化转债和中行转债的理论价格与实际价格对比情况。

图2 双良转债转股价格被调整前的理论价格与市场价格

图3 双良转债转股价格被调整后的理论价格与市场价格

从图2和图3可知，大多数情况下，可转债的价格被明显高估。本文计算了双良转债在修改转股价格前后的理论价格。双良转债于2010年发行，2012年1月已停止交易，由于金融危机以后股市大幅下跌，双良转债最初设计的转股价格过高，转债长期处于虚值状态，公司后来向下调整了转股价格，但还是触发了大规模的回售。我们对比了修正转股价格前后的定价结果，从图2可知，转股价修改前的实际价格是被低估的；从图3可知，在转股价修改后理论价格与实际价格的对比价格中，当转债处于实值状态时实际交易价格低于理论价格。可转债公司通过特别向下修正条款的设定，加大和最大化了投资人的转股可能性，避免回售或到期的本息现金支付，该条款相当于一个美式互换期权，对投资者是不利的。当可转债包含该期权时，理论价格大大降低，而当该期权已经被执行（转股价已重置）时，该可转债的理论价值提高，这能够解释双良转债在向下修正条款执行前后价格的表现。

从国内外研究结论来看，大多数学者认为可转债的实际价格低于理论价格。

对比我们的研究数据和研究方法，在数据方面，本文选取的数据较新，为2010～2012年的日数据，这期间中国及全球股票市场处于持续下跌之中，可转债长期处于虚值状态；从研究方法来看，一方面，现有的文献中，研究方法大多数对可转债的复杂条款做了简化处理，有的研究没有考虑信用风险，而我们的研究吸取了前人的经验，将转债视为包含多个期权的衍生产品，通过成分模型加入信用风险，定价更为精确。另一方面，中国的可转债价格被高估的结果与中国的市场特征有关，作为新型的资本市场，中国市场卖空机制缺乏，使得可转债偏离合理价格的情况下不能通过套利进行修正；中国市场投资品种匮乏，可转债市场规模很小，供给不足；中国市场可转债条款相对比较复杂，投资者难以准确判断可转债价值，中国市场可转债中包含复杂的选择权有时候削减了其价值，例如较高的转股价格、苛刻的回售条件和较低的票面利息等。

（2）当回售条款被限制时，随着标的股票价格下跌，可转债包含的股权价值消失

石化转债和中行转债发行的目的是提高资本充足率，设置了不可主动回售条款，然而伴随着熊市行情，转债处于虚值状态，使得转债理论价值大大下降。从实证结果可知（见图4、图5），该转债在虚值状态下理论价格近似为直线，即股权价值消失，可转债只表现为债性。

从转股价重置条款来看，石化转债和中行转债均未设置附加的回售条款但设置了特别向下修正条款，说明发行人不想还本付息，只是想在修正的时候掌握主动权，而不是在触发回售条款时才被动修正，转债对投资者的保护较弱。重置条款的存在需要对投资人进行补偿，因而降低了理论价值。

图4 石化转债理论价格与实际价格

图5 中行转债的理论价格与实际价格

由于本文成分模型中将股权价值和纯债券价值分开研究，所以可通过三维图观察到股权价值、纯债券价值以及可转债价值随着时间推移的变化情况，如图6所示。从图6可知，中国可转债价值中包含的股权价值非常小，主要表现为债权价值，而且从分析样本来看，随着发行时间的推移，可转债的整体价值在减少。究其原因，一方面，由于转债设置了苛刻的回售条款，投资者在不利情况下不能行使主动回售权利；另一方面，随着时间推移，由于标的股票不断下跌，可转债长期处于虚值状态，可转债的股权价值减少，可转债主要表现为债权部分价值。

图6 可转债价值与股权价值的变化

在实际交易中，双良转债由于设定的转股价太高，投资者纷纷回售，最终90%被提前回售。而中行转债和石化转债一方面规定了高的转股价，另一方面又限制投资者回售，结果投资者既不会选择转股也无法回售，可转债包含的股权价值几乎为0，仅仅相当于低息的债券。

四、结 论

可转债包含转股、回售、赎回和转股价重置等条款，可视为包含多重期权的衍生产品，不同的条款设计反映了发行人不同的发行目标，对可转债的理论价值也会产生重要的影响。本文考虑了不同条款代表的期权价值和信用风险因素，选取了2010～2012年3个代表性的可转债为研究对象，针对中国市场进行了实证研究。实证结果表明，中国市场可转债价值在近年来被高估了，这个结果与国内外大多数研究结果不一致。究其原因，一方面是因为研究数据取自市场熊市阶段，可转债长期处于虚值状态；另一方面是因为研究方法是基于多重期权的视角，考虑回售条件、赎回条件和信用风险等影响定价的因素，使定价结果更为精确。另外一个实证结果是，重置转股价格条款和回售条件对可转债价格有较大的影响，其不同的设计反映了发行人的不同目标。理论上来说，可转债发行人的重置条款向下修正转股价格对发行人是不利的，但如果发行人是利用该条款避免现金支付，那么投资人应要求足够的补偿，从而使该条款大大降低了可转债的理论价值，这是中国可转债价格高估的重要原因。

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