浅析分类思想在初中几何中的应用

张丽英

摘 要：分类讨论是将研究对象的全体按照不重叠、不遗漏的标准，划分为若干部分分析研究，再把其分析研究的结果综合起来，从而使问题得以解决。由于考察问题的角度、方法不同，同一问题的解决可以有不同的分类标准。分类讨论思想其实质是化整为零，分而治之。它是学习和研究数学问题的一种重要的思想和方法。

关键词：分类思想；等腰三角形；相似三角形

我国著名数学家、中国科学院院士吴文俊先生是这样评价中国古代数学的：“中国古代数学，乃是机械化体系的代表，与古希腊数学之演绎推理典范，其实各具特色，各为数学发展作出了巨大的贡献。”从中足以看出中国古代数学思想在世界数学发展史上的地位和作用。

数学中的分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。中考对分类思想考查的一个重要目的是检测我们的理性思维，在运用分类讨论思想时，应注重理解和掌握分类的原则，方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏”。

在初中几何中涉及分类讨论的知识点大致有：等腰三角形，相似三角形，两圆的位置关系……当你对以上各种情况做到“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。

一、分类讨论思想在等腰三角形中的应用

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三

角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

第二问求“在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。”

点评：等腰三角形是一种特殊的几何图形，特别是当等腰三角形和函数及动点问题结合到一起，会出现答案的不唯一性，中考命题人员对此类问题往往特别的青睐，而学生解答时常会出现漏解现象。如果利用分类思想，结合直观作图的手段进行分析解答，可以有效避免因思维不严密出现漏解的现象。下面结合本题重点介绍一下利用分类思想解答此类问题的技巧。

1.以静制动，找准切入点

此类问题中虽然所涉及的点是运动的，但总有部分已知点是不变的，抓住这些不变的点，将其作为解题的突破口。在这道题中，因为已知点Q是对称轴上的一个动点，所以它的位置是变化的，则△ABQ不唯一。认真分析已知可发现点Q在对称轴上，因此它的横坐标不变。且△ABQ的边AB是确定不变的，这样可从线段AB入手，以AB作解决问题的切入点，来寻找点Q的具体位置。

2.分类讨论，作图击破

等腰三角形的边分两类：一类是腰；另一类是底。在这里已知边AB既可以为腰，又可以为底。当AB为腰时，又分两种情况：一种情况为AB=AQ，即AB为腰，且点A为顶角的顶点；另一种情况为AB=BQ，即AB为腰，且点B为顶角的顶点。这样共有三种情况出现：第一种情况：当AB为腰，且点A为顶角的顶点时，点Q在以点A为圆心AB长为半径的圆上。第二种情况：当AB为腰，且点B为顶角的顶点时，点Q在以点B为圆心AB长为半径的圆上。第三种情况：当AB为底时，点Q在线段AB的垂直平分线上。

二、分类思想在相似三角形中的应用

1.对应角不确定

反思：

分类讨论的过程是同中求异和异中求同两种思维方式的有机结合，即先抓住问题涉及对象的不同特点，分为既不重复，又不遗漏的几类，运用分类讨论思想解题的步骤：

①明确对哪个参数进行讨论；

②对所有的对象进行合理分类。（分类是做到不重复也不遗漏，标准要统一）

③逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决。

④归纳总结：将各类情况总结归类得出最终答案。

分类讨论方法往往能使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。而另一方面在课堂讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

（作者单位 杭州明珠实验学校）