粗糙线性空间的性质研究*

李小朝 张 巧

(1黄淮学院数学科学系；2驻马店市第十二初级中学 河南驻马店 463000)

引言

自1982年波兰学者Pawlak在文献[1]中首先提出粗糙集的概念以来，粗糙集理论在数据的决策与分析，机器学习和知识发现等领域得到广泛应用.近年来，粗糙集理论被成功地应用到各种代数系统上，得到了一系列有价值的结果.文献[2，3，4]研究了半群的粗糙群， 粗糙子群和粗糙理想等粗糙代数的性质.文献[5，6]研究了粗糙群的同态和同构的若干性质.在文献[7]中，笔者把粗糙集理论引入到李代数上，研究了李代数的粗糙子代数和粗糙理想等.文献[8，9]研究了粗糙线性空间及线性空间基于同余的上(下)近似.本文在文献[8，9]对粗糙线性空间研究的基础上，进一步研究粗糙线性空间的子空间、同态等.

本文总假设L是数域P上的线性空间，所用符合、术语和定义1，2参见文献[8，9].

1 粗糙线性空间

定义1 设A,B是线性空间L的非空子集，k为数域P中任意元素.定义A与B的和为：A+B={α+β|α∈A,β∈B}；k与A的乘积为：kA={kα|α∈A}.

定义2 设W是线性空间L的子空间，对任意α，β∈L若α-β∈W，则称α与β同余，记为xRy.用R(x)表示包含x的同余类， 显然R(x)=x+W.

2 粗糙线性空间的子空间

定理6 若V1,V2是粗糙线性空间V的粗糙子空间，则V1+V2也是V的粗糙子空间.

证明：由于V1,V2是粗糙线性空间V的粗糙子空间，则有V1+W,V2+W是线性空间. 由于(V1+W)+(V2+W)=V1+V2+W仍是线性空间，因此V1+V2也是V的粗糙子空间.

定理7 设粗糙线性空间V1,V2是粗糙同态的，则f(V1)也是粗糙线性空间.

证明：由定义5知结论显然.

故由定理2知f(H1)是V2的粗糙子空间.

参考文献：

[1]Zdzislaw Pawlak. Rough sets [J]. International Journal of Computer & Information Sciences，1982，11(5)：341.

[2]Biswas R，Nanda S. Rough groups and rough subgroups[J]. Bull Polish Acad Sci Math，1994，42(1)：251.

[3]Kuroki N. Rough ideals in semigroups[J].Information Science， 1997，100(1-4)：139.

[4]Miao DQ，Han SQ，Li DG，et al. Rough group， rough subgroup and their properties[J]. Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining, and Granular Computing Lecture Notes in Computer Science，2005，364(1)：104.

[5]舒兰，王德松.粗糙群同态基本定理与同构[J].计算机科学，2003，30(5专刊)：32.

[6]韩素青.粗糙群的同态和同构[J].山西大学学报，2001，42(24)：303.

[7]李小朝.李代数的粗糙子代数和粗糙理想[J].河南科学，2011，29(12)：1406.

[8]吴明芬.线性空间上基于同余的上(下)近似[J].模糊系统与数学，2008，22(1)：146.

[9]Liu WJ. Rough Linear Space[J]. Fuzzy System and Mathematics，2007，21(4)：137.