活用外角巧转化

周亚兵

三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.该推论能够较好地揭示三角形的外角和内角之间的两种关系：角之间的相等关系与角之间的不等关系.灵活应用这个推论可以帮助我们解决已知两角求第三角的度数、证明两个角之间的不等关系等问题，使问题能够巧妙转化，现举例说明如下.

一、 求角度问题

例1 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）.

A. 150° B. 210° C. 105° D. 75°

【分析】由于△A′ED是由△AED沿着DE折叠压平得到的，

因此，∠A=∠A′.

连接AA′，则∠1是△AEA′的外角，

所以∠1=∠EAA′+∠EA′A，

同理∠2=∠DAA′+∠DA′A，

所以∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠A+∠A′=2∠A′=150°.

【解答】A.

【感悟】本题要根据图形的位置特征，灵活地把所求角看成是某个三角形的外角，从而使所求问题得以转化.

例2 如图2，平面上6个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形.

求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和.

【分析】若要分别求出这6个角可能有一定的难度，可分别将两个角变换到一个三角形中来，再利用三角形外角的性质进行转化.观察图形，∠A与∠B、∠C与∠D、∠E与∠F可分别转化为∠3、∠1、∠2，再应用多边形的外角和定理解决问题.

【解答】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以知道∠A+∠B=∠3，∠C+∠D=∠1，∠E+∠F=∠2.

又因为∠1、∠2、∠3是一个三角形的3个外角，所以∠1+∠2+∠3=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

【感悟】当图形比较复杂或不规则时，需要我们仔细观察图形，寻找隐含在图形中的三角形，并灵活应用三角形的相关知识进行求解.

二、 角与角大小关系的证明问题

例3 如图3，已知点P是△ABC内的一点，连接BP、CP.

求证：∠BPC>∠BAC.

【分析】要证角与角之间的不等关系，往往将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角，进而应用三角形内角和定理的推论得到∠BPC>∠CDP、∠CDP>∠BAC，即可得到∠BPC>∠BAC.

证明：延长BP交AC于点D.

因为∠BPC是△DPC的外角，

所以∠BPC=∠CDP+∠DCP，即∠BPC>∠CDP.

因为∠CDP是△ABD的外角，

所以∠CDP=∠BAC+∠ABD，即∠CDP>∠BAC.

所以∠BPC>∠BAC.

【感悟】本题巧妙地添加了适当的辅助线，构造出三角形外角的基本图形，并灵活应用图形的相关性质使问题得以转化，从而达到解题的目的.

例4 已知：如图4，E是△ABC中∠C的外角的平分线与BA的延长线的交点.

求证：∠BAC>∠B.

【分析】由于∠BAC、∠B均在△ABC的内部，所以直接进行证明显得比较困难.不妨把∠BAC、∠B分别看成是△ACE的外角和△ABC的内角，从而把问题转化为三角形的内角与外角之间的关系，易得∠BAC>∠1、∠2>∠B，再应用图形中的∠1=∠2作为中间桥梁使问题得到解决.

证明：因为∠BAC是△ACE的外角，

所以∠BAC=∠E+∠1，即∠BAC>∠1；

又因为∠2是△BCE的外角，

所以∠2=∠E+∠B，即∠2>∠B.

因为CE是角平分线，

所以∠1=∠2；

所以∠BAC>∠B.

【感悟】证明角与角的不等关系，往往转化为三角形的外角与内角问题来解决.