紧扣题目特征 寻找解题方法

荆春芳

《平面图形的认识（二）》是数学教材七年级上册第六章《平面图形的认识（一）》的延续，这两章是几何学习的基础，只有学好了这些基础知识点，才能为后续复杂几何题的学习打好基础.近几年各地中考试题和竞赛试题也经常在这些方面命题.本章的主要内容分为三大块：平行线的判定条件及性质、图形的平移和三角形的基础知识.现针对这三块重要内容举例加以分析，帮助同学们掌握解决这些问题的方法技巧.

例1 如图1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.

【分析】本题对∠A1、∠A2、∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的3个角的大小无关，也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的.我们从直观图形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要说明两角的和等于第三个角，通常可以通过添加辅助线把较大角分成两个较小角，首先使分出的一个角等于∠A1，这可以通过添加平行线实现，再说明余下的一个角等于∠A2即可.

【解答】如图1，过B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.

【点评】（1） 当已知与未知的转化不明显时，常常通过作辅助线的方法加以解决，过一点作已知直线的平行线是解决平行线问题时常用的作辅助线的方法；（2） 从上面的解题过程可以看出，这个问题的实质在于已知条件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作连接A1、A2之间的折线段，当连接A1、A2之间的折线段增加到4条时，如图2，仍然有结果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

进一步可推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，这时如图3，连接A1、An之间的折线段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（当然，仍要保持AA1∥BAn） .

【推广】有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况，这是一种提升自我思考能力的方法.

此题还可以进行如下变化：① AA1∥BA2这个条件不变，如果点B1向右移动到如图4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？② AA1∥BA2这个条件不变，点B1向上移动到如图5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？相信同学们可自行解答.

例2 在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数.

【分析】因三角形的高不一定在三角形内部，又△ABC不是直角三角形，所以△ABC的形状应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.

【解答】（1） 如图6，当△ABC是锐角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形内的O点，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.

（2） 如图7，当△ABC是钝角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形外的O点，此时∠A与∠O分别是对顶角∠ACE与∠DCO的余角，由余角的性质可知，∠BOC=∠A=60°.

综上所述，∠BOC的度数是120°或60°.

【点评】（1） 解图形形状不唯一、几何图形位置关系不确定或与分类概念相关的问题时，常常用到分类讨论法；（2） 中线、高、角平分线是三角形中的三条重要线段，从它们所处的位置看，高与中线、角平分线不一样，中线、角平分线都交于三角形内一点，而高的位置随着三角形形状的变化而变化：锐角三角形三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外一点，今后研究三角形高的问题时都要注意符合题设条件的图形的多样性.

例3 如图8，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）.

A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）

C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）

【分析】折叠中含有很丰富的相等的量，因此在折叠的动态变化中，寻找不变关系是解题的关键.在此题中，由三角形的内角和定理可知，不变关系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四边形BCED中，未知的量减少了，利用四边形的内角和是360°建立方程，就能够得到问题的答案.

【解答】由三角形内角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.

在四边形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故选B.

【点评】（1） 折叠类问题是近几年中考的热门考题，通常把某个图形按给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.折叠类问题立意新颖，变幻巧妙，能有效地培养同学们的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力.（2） 此题是用代数法解几何计算问题，这种方法的基本思路是：引入未知数，运用图形性质建立方程或不等式，把问题转化为解方程或解不等式，因此这种方法也称为“方程思想”.如图9，把上题中的三角形纸片改成四边形纸片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D与∠1、∠2的关系？请你动手试试看.

例4 已知△ABC中，三边长a、b、c都是整数且满足a>b>c，a=10，那么满足条件的三角形共有多少个？

【分析】这是一道典型的几何类计数问题，如果一个个三角形去列举，不仅麻烦而且容易重复或遗漏，特别地，当a的取值很大时，列举根本不可能实现，因此解决此类问题通常需要分类讨论，为了不重复、不遗漏，还可以采用列表法.

解：由三角形的三边关系知b+c>a，因为b>c，a=10，可知b>5，又因为b<10，且b是整数，所以b=6、7、8、9，按此标准分类可求出c，列表讨论如下：

因此，满足条件的三角形共有1+3+5+7=16（个） .

【点评】（1） 计数问题要防止重复或遗漏，因此计数要按顺序有条理地进行，同时经常需要分类讨论；（2） 研究三角形的边的长短关系时，三角形的三边长度必须满足三角形的三边关系定理“三角形的任意两边之和大于第三边”，否则就有可能产生三条线段不能构成三角形的情况，此题是用列表法，先把大边固定，然后根据三边关系限制较小的两边；（3） 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？你会做吗？（提示：先确定最长边的范围，然后用上面的方法讨论）

通过探索直线平行的条件和平行线的性质，我们知道平行作为两条直线的位置关系，与角的大小存在着内在的联系，它反映了图形与数理之间的关系，这里的数形结合既是重要的知识内容，又是重要的思想方法，同时添加基本辅助线——平行线，也为解决很多问题带来方便；图形的平移要求我们对图形多观察，多动手操作，经历知识的形成和应用的过程，从而更好地体会图形的变换的应用价值和丰富的内涵；研究三角形的基础知识是要掌握解决数学问题的一般方法即化复杂为简单、化未知为已知的化归思想，另外整体思想、方程思想等也都是初中数学的重要思想方法，在本章中也都有所体现.