关于“三角形内角和是180度”验证方法的思考

朱玉明

摘 要： 本文提出对通过“测量求和法”“剪拼法”“折拼法”等方法来验证“三角形内角和是180度”的思考，以学生已有的知识体验为依托，为学生进一步获取有价值的数学知识奠定基础，并以此来培养学生分析问题和解决问题的能力，并形成一定的数学思维能力。

关键词： 测量求和法 剪样法 折拼法 数学问题

《数学课程标准》指出：“重视评价学生发现问题、解决问题的能力。对学生发现问题、解决问题的能力可以从以下方面进行考查：能否从现实生活中发现和提出数学问题；能否探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。”小学生数学的学习过程是从直观逐渐向抽象过渡的过程，并在学习的过程中形成一定的分析问题、综合问题、解决问题的能力。让学生动手去实践，并在实践和比对中思考，则是解决数学问题的一种有效途径。

一、几种常见方法的比较

验证“三角形的内角和是180度”，常见的有三种方法：

1.用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180度（下文简称“测量求和法”）；

2.将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（下文简称“剪拼法”）；

3.将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（下文简称“折拼法”）。

对于这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往不是180度。这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180度”的错误印象。

“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与剪下来后图形间的联系与变化。

而“折拼法”则有效地避免了“量”、“剪”的缺陷，可惜操作起来困难，想起来费劲——它要求学生首先沿着“中位线”来折，而“中位线”对学生来说则是个陌生的事物。

二、几种常见方法的导出

其实对于三角形内角和三种常见的验证方法“量”也好，“剪”也好，“折”也罢，它们或多或少都存在着误差。用单个任何一种方法验证“三角形内角和就是180度”，不足以让人信服。因此，让尽量多的验证方法出现的课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。

然而事实并不随你我所愿。正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。

如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？

我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：新课伊始，学生猜想“三角形内角和是180度”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180度吗？说说你的依据。

1.“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。

先用红笔圈出课题“三角形内角和是180度”中的“内角和”（停顿，看看老师的暗示能不能个学生启发）。

如果学生还是想不到，接着启发：“课题中‘内角和是什么意思？”

如果学生还想不到方法，继续提问：要知道三个内角“度数”的和，要用到什么工具？怎么办？

2.“剪拼法”的导出：采用“说半句留半句”的策略，将“180度”与“平角”链接起来。

先用红笔圈出“180度”，并提问：我们前面学过180度的角又叫做——（轻轻地、缓缓地、比学生慢半拍）平角。

接着：判断三角形的内角和是不是180度，就可以将三角形三个内角——（等待，学生能说让学生说，学生不能说教师手势在前，语言在后）放在一起，看它们能不能拼成（再等待）——平角。

3.至于“折拼法”——让学生自学教材，边看边操作就行了。

我们在对教材中提及的“折拼法”方案（如图1）稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”；然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（见图2），经改进操作起来简便多了。

图1

图2

三、几种常见方法呈现的“序”

验证三角形内角和是180度，常见的有三种方法：一是用量角器分别量出三个角的度数，然后加起来；二是将三个角剪下来拼成一个平角；三是将三个角折起来拼成一个平角。对于这三种方法的呈现，老师们基本都是从学生较易理解的“用量角器量角求和”入手，然后研究“剪”、“折”等拼角的方法。

对这样的安排，我认为有些不符合逻辑——因为在交流“量”这种验证方法时，不管老师怎样解释，实际量得的结果总是实实在在地影响着“用拼角的方法验证三角形内角和是180度”的可信度——理由很简单：工具测量有误差，粗略的“拼凑”误差更大。

“误差”这是一个“剪不断，理更乱”的话题，教学时我们不妨采用“回避”的策略：首先，将学生提出的各种验证方法一一列举在黑板上。然后，在集中交流时，先讨论“剪”或“折”的方法，让学生体验、确认“三角形内角和是180度”。最后，与学生一起交流“用量角器测量验证”的方法并讨论：为什么测量算得的三个角的度数加起来不是180度呢？

这样让学生在正向确认，反向解释，不但避免了误差干扰，而且强化了“三角形内角和定理”。