两个值得商榷的高中数学教材中的概念

周宇剑 谭冰

摘要：本文对二元一次不等式及二元一次不等式组的概念进行了简要辨析，有利于教师在教学中准确把握，有助于学生对这两个概念的理解与应用。

关键词：二元一次；不等式；不等式组

中图分类号：G632 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0092-02

人教A版《数学必修5》的3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一节中，有两个概念：把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。[1]这两个概念容易让学生引起认识上的混乱。

按照上述概念，xy+5x-3y<7、2xy-3y≥-7等都是二元一次不等式。不等式组x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4可视为二元一次不等式组，不等式组x-2y+5>32y<5x≥3、2y<5x≥3、x≥-1y<5x≤3y>-2却不是二元一次不等式组。显然，这都和事实不相符。因此，笔者认为这两个概念值得商榷。

从教材的衔接和思维的严谨性来看，教材中的这两个概念需要进一步完善。最新的湘教版初中教材有这些概念：含有两个未知数（二元），并且含未知数的项的次数都是1的方程为二元一次方程。把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组。[2]含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。[3]并且该课本中的三元一次方程组的练习中出现了方程组x+y=72y+z=6x-z=7和 3x-2z=13z+2y=23y-x=-18。既然上述方程组算作三元一次方程组，那么由类比推理，不等式组2y<5x≥3也可算作二元一次不等式组。由于二元一次不等式（组）的概念是在高中学的，而一元一次不等式（组）是在初中学的。且都是在一元一次方程与二元一次方程的学习之后。按初中教材的编排，一元一次不等式的概念与解法都是类比于一元一次方程得出的。故二元一次不等式（组）的概念应该也与二元一次方程（组）的概念在某种认识上要达成一致，这样，才不至于产生矛盾，让人怀疑概念的严谨性、连贯性与正确性。从教材编排的体系和意图来看，二元一次不等式（组）的知识点放在简单的线性规划问题前面呈现。也就是说是利用线性关系来解决规划问题的。而只有未知项的次数是1次的二元不等式才能体现出线性关系。未知数的次数是1的二元不等式如xy<1就能体现出两个未知数之间是线性关系。从概念的内涵与外延来看，教材中的二元一次不等式的概念的内涵被缩小，因而外延被扩大。我们需要认识“未知数的次数为1”与“未知项的次数为1”的含义。“未知数的次数为1”意思很清楚，只要未知数的次数为1就行，但未知数的次数为1，并不保证含该未知数的项的次数为1。而“未知项的次数为1”意为含未知数的项的次数为1，不但包括未知数的次数一定为1的意思，而且排除了含未知数的项的次数不为1的不等式。同时它还隐含了一个条件，就是该项必须是整式，只有整式才谈得上次数，对于分式和根式等是没有次数而言的。如在不等式xy-x>7中，xy与x都是含未知数的项，xy这一项含有两个未知数，并且每个未知数的次数都是1次，但该项的次数却是2次；这一项的次数是1次，该项的次数也为1次。而■是分式，■是根式，这些项都不存在次数之说。

综上所述，二元一次不等式的概念可为：把含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的不等式称为二元一次不等式。二元一次不等式组的概念可为：共含两个未知数且每个不等式中含有未知数的项的次数均为1的几个不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。这样一来，xy+5x-3y<7与2xy-3y≥-7就不是二元一次不等式了。不等式组x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4虽然都由二元一次不等式组成，但由于不同的不等式所包含的未知量不同，因而包含的未知数的个数就不再是两个，而是包含5个未知数，因而该不等式组不是二元一次不等式组。不等式组x-2y+5>32y<5x≥3与x≥-1y<5x≤3y>-2可算作二元一次不等式组。同时，形如■-3y≥-7的不等式也不是二元一次不等式，因为其中的■中未知数x的次数并不是1次。

由于二元一次不等式（组）在线性规划问题一节中提出，必须让学生理解这两个概念，这样，他们才能清楚在何种情况下可以运用线性规划解决问题。教学过程中，在呈现出相关的二元一次不等式（组）的概念后，为了让学生对概念有清楚地认识和理解，可以设计如下概念辨析题，促进学生对这两个概念的认识。

例1.判断以下不等式是否为二元一次不等式？并说明理由。

（1）2x-y2<-6 （2）2x-x>7 （3）2x-y<5

（4）2xy-3x>4 （5）■-3x>4 （6）■>4

例2.判断以下不等式组是否为二元一次不等式组？并说明理由。

（1）x-3y<-32y<4x≥-3 （2）x>0y≤2x<6y>-2 （3）x>0y≤2t<6 （4）x>0y-5t≤2

（5）x-y>0y+■≤2 （6）■>5 y-x≤2

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书A版数学必修5[M].北京：人民教育出版社，2007：82.

[2]严士健，黄楚芳.义务教育教科书数学七年级下册[M].长沙：湖南教育出版社，2003年11月第一版，2012年12月第2版：3.

[3]严士健，黄楚芳.义务教育教科书数学七年级下册[M].长沙：湖南教育出版社，2003年11月第一版，2012年12月第2版：21.