如何应用二次函数求解一元二次不等式

徐焕奎

摘 要：本文探讨应用二次函数的性质直接简单地求解一元二次不等式的方法。

关键词：二次函数 求解 一元二次不等式

在求解一个一元二次不等式的时候，我们都是先将一元二次不等式化为一元一次不等式组，再解一元一次不等式组，其不等式组的解，也是原一元二次不等式的解。然而，一元二次方程和一元二次不等式与二次函数有着密切的关系。如求二次方程ax2+bx+c=0的解，就是求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的根；求不等式ax2+bx+c<0的解集，就是求使二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于零的自变量的取值区间。同样求不等式ax2+bx+c>0的解集，就是求使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零的自变量的取值区间。因此，我们可以应用二次函数的性质直接简单地求解一个一元二次不等式。

一、求解一个一元二次不等式的三种情况及分析

对任意一个一元二次不等式ax2+bx+c>0（<0）与其相应的一元二次方程为ax2+bx+c=0，相应的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0）。若a>0时，y=ax2+bx+c的图像开口向上，而且有以下三种情况，如图1所示。

图1

其一，若ax2+bx+c=0有两个根x1、x2，即Δ>0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1（1）所示，结果见表1。

表1

ax2+bx+c=0 x=x1，x=x2

y=ax2+bx+c xx2时，y>0；x1

ax2+bx+c>0 xx2 x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）

ax2+bx+c<0 x1

其二，若ax2+bx+c=0有一个根，即Δ=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1（2）所示，结果见表2。

表2

ax2+bx+c=0 x=x0

y=ax2+bx+c x =x0时，y=0，x≠x0时，y>0

ax2+bx+c>0 x≠x0 x∈（-∞，x0）∪（x0，+∞）

ax2+bx+c<0 无解 x∈φ

其三，若ax2+bx+c=0无根，即Δ<0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1（3）所示，结果见表3。

表3

ax2+bx+c=0 无解

y=ax2+bx+c x∈R y>0

ax2+bx+c>0 x∈R

ax2+bx+c<0 x∈φ

下面通过实例分析：

例1：解不等式x2-x-6>0

解：由x2-x-6=0解得x1=-2，x2=3

∴ x2-x-6>0的解为：x<-2或x>3

即：x∈（-∞，-2）∪（3，+∞）

例2：解不等式x2+5x+6<0

解：由x2+5x+6=0得x1=-3，x2=-2

∴ x2+5x+6<0的解为：-3

即：x∈（-3，-2）

例3：解不等式，①x2+2x+1>0，②x2+2x+1<0

解：①由x2+2x+1=0得x=-1

∴ x2+2x+1>0的解為x≠-1

即：x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）

②由x2+2x+1=0，得x=1

∴ x2-2x+1<0，无解，即x∈φ

例4：解不等式，①x2+x+2>0，②x2+2x+3<0

解：①由x2+x+2=0，得Δ<0

∴ x2+x+2>0的解为一切实数

即：x∈R

②由x2+2x+3=0得Δ<0

∴ x2+2x+3<0，无解，即x∈φ

二、求解一个一元二次不等式的三种结论及分析

对任意一个一元二次不等式ax2+bx+c>0（<0）与其相应的一元二次方程为ax2+bx+c=0，相应的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），若a<0时，y=ax2+bx+c的图像开口向下，而且有以下三种情况，如图2所示。

图2

这样由ax2+bx+c=0的三种情况，①Δ>0，②Δ=0，③Δ<0，确定其相应ax2+bx+c>0（或<0）的解集。其讨论方法和a>0时的完全一样，不再一一总结。这三种结论记着更好，可直接得解集。其实也没有必要死记a<0的情况，因为凡是ax2+bx+c>0（<0）当a<0时总可先将其转化为：ax2+bx+c>0（或<0）的情况，然后按a>0的一种情况求解之。下面通过例题分析。

例5：解不等式-x2+x+6>0

解：由-x2+x+6=0得x1=-2，x2=3

∴ -x2+x+6>0的解为：-2

即x∈（-2，3）

例6：解不等式-2x2+3x-1<0

解：原不等式-2x2+3x-1<0，即是不等式2x2-3x+1>0

由2x2-3x+1=0得x1= 2—1，x2=1

∴ 2x2-3x+1>0的解为：x< 2—1 或x>1

即 -2x2+3x-1<0的解集为：x∈（-∞，1/2）∪（1，+∞）

三、例题分析

通过具体例题分析，在解一元二次不等式的时候是将其转化为一元一次不等式组求解简单，还是应用二次函数求解简单。

例7：解不等式x2+5x+6>0

解1：由x2+5x+6>0分解因式得

（x+2）（x+3）>0

即： 或

=> 或

∴ x>-2或x<-3

即x∈（-∞，-3）∪（-2，+∞）

解2：由x2+5x+6=0解得

x1=-3，x2=-2

∴ x<-3或x>-2

即x∈（-∞，-3）∪（-2，+∞）

显然，解1是先将一元二次不等式化为一元一次不等式组，再解一元一次不等式组求解，其步骤多，比较麻烦；解2是根据二次函数的性质直接简单地求解一元二次不等式。