精选例题，提高中考数学复习课的效率

叶秋华

【摘要】 中考复习课在初三教学中占据相当大的比重，尤其在初三下学期几乎都是复习课.故中考复习课的教学质量将直接影响学生对基础知识的掌握、基本技能的运用、基本思想的感悟、基本活动经验的积累.因此，提高复习教学效率，是帮助学生适应社会生活需要和进一步发展需要的必由之路.

【关键词】 复习教学；思想方法；数学素养

复习课是数学课堂教学的重要组成部分，中考复习课在初三课堂教学中占据相当大的比重，尤其在初三下学期几乎都是复习课.可见，复习课的教学效率将直接影响学生对基础知识的掌握、基本技能的运用、基本思想的感悟、基本活动经验的积累.因此，提高复习教学效率，是帮助学生适应社会生活需要和进一步发展需要的必由之路. 在数学教学中，虽然教师对于复习课都有高度的重视，但还是在很多数学复习教学中出现“教师一言堂”、“题海战术”、“知识点简单的重复”等一些低效甚至无效现象.笔者认为，复习课应在“精”字上做文章.即通过教师精心的设计、精炼的讲解，帮助学生学得精要、习得精深，从而达到事半功倍的效果，提高中考复习教学质量，最终实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.

一、立足核心内容，精夯基础知识

《数学课程标准（2011年版）》指出：数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.数学课程要面向全体学生，使学生掌握必备的基础知识和基本技能. 学生的基础知识是学生发展的前提，是学生能力提高的先决条件；数学核心内容是数学知识结构中的连接点，包括知识概念的内涵与外延、地位与作用，以及变式与联系.因此，笔者在复习教学中通过对基础知识、基本技能、基本思想方法的全面回顾、系统梳理、整合重组，以期达到基础知识系统化、基本技能自动化、基本思想方法熟练化的良好效果.

案例1 在复习“平行四边形与特殊平行四边形”时，笔者不仅局限于判定、性质的综合运用，同时也引导学生挖掘知识点间的联系，建构知识网络，将知识系统化、结构化.

问题：（2007年杭州卷）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系.如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行. 那么笔者给出此题目时，学生都能较好地回答，可看出学生都能较好地掌握基础知识. 这离不开笔者在平常教学中注重学生对基础知识的理解、掌握，在上新课及单元复习课时，注重每种特殊四边形之间的关系，把这一章节内容搭建得“精练”，达到知识的“浓缩”.从而在中考复习中学生都能较好地解决此类问题.研究表明：结构良好的知识体系，能减少记忆的项目个数，促使信息有序地转移到长期记忆中，从而让学生更好地理解记忆、存储运用.

二、提炼基本图形，精现数学本质

著名数学大师波利亚指出：学习任何知识的最佳途径都是自己发现的，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.基本图形有着广阔的拓展空间，在复习教学中，笔者有意识地引导学生提炼基本图形，帮助学生运用基本图形解决几何问题，这样才能透过现象看本质、复杂问题简单化；有利于激发学生的学习兴趣、引发学生的数学思考，从而促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.

案例2 在复习“相似三角形”时，笔者进行了如下设计

师：在这个复杂的图形中有没有刚才我们熟悉的基本图形，哪两个三角形相似？

生：有，因为∠B = ∠AEF = ∠C = 45°，所以△ABE∽△ECF.

师：利用相似，如何求CF？

基本图形是解题之本，具有广泛的拓展、应用空间，许多题目都是根据基本图形来巧妙设计的. 因此，在复习教学中，笔者非常重视基本图形的提炼、探究、运用，引导学生从复杂图形当中抽象出基本图形，抓住问题的本质，激发学生的好奇心和求知欲，从而发展学生思维的广阔性和灵活性.

三、联系生活实际，精构数学模型

数学是生活的源泉，数学与人类发展和社会进步息息相关，现实生活中蕴含着大量的数学信息. 著名数学家华罗庚说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献.因此，在复习教学中，笔者注重数学与生活的联系，对于较复杂的实际问题，引导学生通过感知和表征、抽象和概括，转化为简约的数学问题，继而建立数学模型.在建立数学模型和应用数学模型解决问题的过程中发展数学思维、提高应用能力、积累活动经验.

请结合表中提供的信息，解答下列问题：

（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y. 求y与x的函数关系式.

（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案.

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费.

分析 （1）根据题意列式：12x + 10y + 8（20 - x - y） = 200，变形后即可得到y = 20 - 2x.

（2）根据转运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资车辆数不少于4辆，得x ≥ 5，20 - 2x ≥ 4，解不等式组即可.

（3）根据题意列出利润与x之间的函数关系，可发现是一次函数，利用一次函数的性质即可求得最大值，根据实际意义可知整数x = 8时，利润最大.

我们常把实际问题抽象成数学问题，继而建立数学模型求解，可用如下的图示来表示：

引導学生从实际问题中抽象出数学问题，并利用数学模型解决实际问题，体现数学模型与实际生活问题的内在联系，凸显模型的应用价值，从而增强学生的应用意识和创新能力.

四、强调数学思维，精渗思想方法

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，是数学的精髓和灵魂. 掌握数学思想方法可以使数学知识更容易理解和记忆；进一步说，领会数学思想方法是实现正迁移的有效途径. 在复习教学中，笔者以典型题目为载体，将统领知识的思想方法提炼出来，从而有利于学生更透彻地理解数学知识，领略数学思想的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，从而提高独立分析问题、解决问题的能力.

案例4 （2010佛山） 一般来说，依据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”的思想. 将事物进行分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图7，在△ABC中，∠ACB > ∠ABC.

（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）.

（2）请对∠BAC进行恰当地分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）的点D的个数.

分析 （1）（i）如图8，若点D在线段AB上，由于∠ACB > ∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD = ∠ABC使得△ACD∽△ABC.

（ii）如图9，若点D在线段AB的延长线上，则∠ACD > ∠ACB > ∠ABC，与条件矛盾，因此，这样的点D不存在.

（iii）如图10，若点D在线段AB的反向延长线上，由于∠BAC是锐角，则∠BAC < 90° < ∠CAD，不可能有△ACD ∽ △ABC，因此，这样的点D不存在 . 综上，这样的点D只有一个.

（2）若∠BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个；若∠BAC为直角，這样的点D有两个；若∠BAC为钝角，这样的点D有一个.

初中数学中蕴含的数学思想方法有很多，比方说：分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、方程思想、函数思想、类比思想、整体思想等，突出这些思想方法就等同于抓住了中学数学知识的精髓，就能更好地驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力.

综上，在复习教学中，笔者通过精心的设计、精炼的讲解，帮助学生学得精要、习得精深；有计划、有目的地指导学生提炼解题方法、内化解题策略，达到“解一题、得一法、会一类、通一片”的效果，实现复习教学的高效，从而全面提高学生的综合运用能力、数学思维品质、数学学科素养.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定. 全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]徐骏. 也谈提高初中数学复习课实效的做法[J]. 中国数学教育（初中版），2011（4）：11-14.

[3]张伟俊. 基于教学案的数学复习课教学模式的实践与思考——以“解直角三角形”的复习教学为例[J]. 中国数学教育（初中版），2011（7-8）：23-26.