正弦定理引出的三角形五心的相似性质

陈佳敏 蔡享

摘要：主要类比三角形正弦定理，探讨得出了三角形五心到各边和各顶点的距离与正弦定理类似的一个性质，这对于进一步研究三角形的五心提供了帮助.

关键词：正弦定理；内心；旁心；垂心；外心；重心

平面几何问题是高中联赛中的一个重难点，所有的多边形都是由若干个三角形构成的，因此，三角形在平面几何中占据着最重要的作用.解决三角形的问题是解决平面几何问题的基础.三角形的五心（垂心、重心、内心、外心、旁心）是三角形问题的核心，三角形的很多性质都是在五心的基础上推导出来的，三角形的五心有很多很好的性质.本文类比三角形的正弦定理边角与外接圆半径之间的关系，探讨了三角形五心到各边和各个顶点距离与三角形外接圆半径R和三个内角A，B，C的关系，从而归纳出一个与正弦定理相似的性质，这对于理解和掌握三角形从而解决一些平面几何问题能够起到很好的帮助.

一、定理

二、探讨三角形五心到各边的距离和到各顶点的距离的相似性质

1.内心

2.旁心

3.垂心

4.外心

5.重心

代入上式即得结论，其余两式类似证明.

至此我们已经严格地证明了上述五个性质，并且我们可以看到这五个性质与正弦定理有着相似之处，研究的都是五心到各边距离和各顶点距离与外接圆半径和三角形三个内角之间的关系，这对于我们探索和挖掘三角形各方面的性质又更进了一步。

（作者单位 湖北省咸宁市鄂南高级中学）