二次函数的应用

赵集生

摘要：二次函数作为最基本的初等函数。以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系。这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。

关键字：二次函数、概念、性质、图像、应用。

正文：

初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，强调二次函数独特的地方，分析以蕴含了二次函数关系式为背景的应用问题，体现了数形结合思想在二次函数中应用的重要性，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制。因此，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需更深入地学习。

一. 函数概念的深入理解

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习了函数的概念，主要是用映射的观点来阐述函数。以二次函数为例加深对函数概念的认识。

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f： ，使得集合B中的元素y与集合A中的元素x对应，记为 （ ）这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题。

类型Ⅰ： 设 求 ： f （ x ）

分析：这里不能把f （ x + 1 ）理解为 x = x + 1时的函数值，应该理解为，在对应法则 f 下，定义域中的元素x + 1 的象是 ，求定义域中的元素x 的象，其本质是求对应法则。

方法一：把所作表达式表示成x + 1 的多项式。

再用x 代替x + 1 的

方法二：变量代换 ： 它的适应性强，对一般函数都可适用

令 t = x + 1 ， 则 x = t – 1

二 . 利用二次函数图像分析单调性与最值

二次函数的图像是研究二次函数的重要工具，也是二次函数的教学难点所在，在教学中要注意引导学生把握二次函数图像的特点，使学生逐步自觉地利用函数图像学习二次函数的性质（单调性、最值等）。

類型Ⅱ：设 ，求函数在区间[t，t+1]上的最值。

分析：在解答本道题之前，应该让学生注意二次函数的对称轴与所给区间之间的关系。教会学生在对称轴确定，所给区间不确定时如何讨论函数的最值。

解 ：由题可知，二次函数 的对称轴为 1

① 当 t + 1 < 1 即t < 0 时 ，函数在[ t ， t + 1 ] 上单调递减

∴ 当 x = t + 1 时 ，函数有最小值，即

∴ 当 x = t 时，函数有最大值，即

② 当 即

当 x = 1 时 ，函数有最小值，即

ⅰ） 当 即 时 ，

当 x = t + 1 时 ，函数有最大值，即

ⅱ） 当 即 时 ，

当 x = t 时，函数有最大值，即

③ 当 t > 1 时，函数在[ t ， t + 1 ] 上单调递增

∴ 当 x = t 时 ， 函数有最小值 ，即

∴ 当 x = t + 1 时 ，函数有最大值，即

综上所述：

当t < 0 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

当t > 1 时， ， 。

三 .二次函数中所渗透的数学思想

数学思想是数学知识的精髓，是数学解题的灵魂，在解题中如能恰当的运用它，则能顺利解决很多问题。由下面五大数学思想在二次函数中的体现。

（一）转化与划归思想

遇到问题如果正面、直接解决困难时，可将问题（等价转化）转化出去。

类型Ⅲ ：已知偶函数f（x）在 [ 0 ，+∞ ] 上递增，则满足f（2x-1）

分析：本题用应将抽象函数具体化，这样就将陌生问题转化为熟悉问题。

设 由 f（2x-1）

（二）分类讨论思想

由于题目中字母不确定性，导致我们的解题无所适从，在解决相关问题时所讨论的内容有①二次项系数含字母②函数图象与x轴的交点个数③对称轴与区间的相对位置关系。

（三）数形结合思想

高中数学中，代数方法具有严密、繁琐的特征，而且有些问题，如超越方程又没有常规方法可解，所以图像法作为辅助方法就有了不可替代的功能。特别是些小题目，图像法可起到事半功倍的效果，而且结果一目了然。

（四）函数与方程思想

二次函数作为函数的核心知识，本身蕴含了很多问题的处理方法，当函数值确定时，函数即转化为方程。比如求二次函数的零点问题。

（五）待定系数思想

要判断某个二次函数是否用待定系数法求解，主要是看所求解的函数是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识的思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，在今后的教学中将继续研究二次函数的重要性。

参考文献：《中学课程辅导》2011年第02期、《中学教研（数学）》2012年第03期

凯里学院学报、中国期刊网、初（高）中数学教材。