小学毕业数学总复习指导

杨亚伶 王小芃 杨玉辰 吴华英 李勇惠

摘 要：小学毕业生数学总复习从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域入手，把知识系统整理，建构自己的知识体系，内化成自己的知识，这是数学学习的重要方式和目的。通过整理和复习，把相关知识形成知识树，全面了解、掌握知识的发生、发展过程，把握知识之间的内在联系，完善自己的知识结构，形成自己的知识网络，提升自己的数学素养，从而提高分析问题和解决问题的能力。

关键词：小学数学；毕业；总复习；指导

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）04-0026-15

第一部分 数与代数

一、数的认识

（一）目标导航

1.在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。

2.能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。

3.理解符号<、=、>的含义，能用符号和词语描述数的大小。

4.能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流。会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。

5.知道2、3、5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

6.了解公因数和最大公因数；在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

7.了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。

8.结合具体情境，认识小数和分数，能读、写小数和分数，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。

9.能比较小数的大小和分数的大小。

10.在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。

（二）要点提示

在小学阶段，我们认识了许多数和有关数的知识。我们学习了整数、小数、分数、百分数、负数的意义；整数、小数的数位顺序，多位数的读写，多位数的改写与省略尾数；小数、分数的基本性质；小数、分数、百分数的互化；数的大小比较；倍数、因数、偶数、质数、合数的意义；2、3、5倍数的特征等。

【自然数】表示物体个数的1、2、3……都是自然数，一个物体也没有用0表示，0也是自然数。自然数的基本单位是“1”，自然数的个数是无限的，没有最大的自然数，0是最小的自然数。自然数中是2的倍数的数叫做偶数，0也是偶数，自然数中不是2的倍数的数叫做奇数。

【整数】像-3、-2、1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。整数是由正整数、0和负整数组成的，0不是正整数也不是负整数。大于0的整数叫做正整数，没有最大的正整数；小于0的整数叫做负整数，没有最小的负整数。

【计数单位】一（个）、十、百、千、万、……亿、十亿、……都是计数单位。

【数位】计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

【位数】一个数由几个数字写出来（最高位不能是0）就是几位数。

【十进制计数法】每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数方法就叫做十进制计数法。小数部分每相邻两个计数单位之间的进率也是10。

【小数的意义】

分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

【小数的性质】小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，这是小数的性质。利用小数的这一性质，通常可以去掉小数末尾的0，把小数化简；也可以根据需要在小数的末尾添上0；还可以在整数个位的右下角点上小数点，再添上0，把整数改写成小数的形式。

【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。分数根据分子和分母大小关系可以分为真分数和假分数。分子比分母小的分数叫做真分数，如■、■。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，如■、■、■。一个假分数，如果分子不是分母的整倍数，可以写成一个整数和一个真分数合并的形式，叫做带分数，如3■。如果分数的分子是分母的整倍数，这样的假分数可以化作整数。

【分数单位】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。

【分数基本性质】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变，这是分数的基本性质。利用这个性质可以把分数化简或通分。

【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示，如21%、110%。

【负数】像+3、18、+123这样的数都是正数，像-3、-10、-8、-223这样的数都是负数。0既不是正数，也不是负数。

【因数、倍数】如果自然数a和自然数b相乘的积是c，即a×b=c。则a、b都是c的因数，c是a的倍数，也是b的倍数。

【合数】如果一个自然数除了1和它本身外还有其它因数，这样的数叫做合数，如4、6、9等。

【质数】质数也叫素数，如果一个自然数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。如2、3、5、7、11等，最小的质数是2，它也是唯一的偶质数。

【质因数】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。

【分解质因数】把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，就叫做分解质因数。

【公倍数】两个或几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这些数的最小公倍数。

【公因数】两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数。其中最大的一个叫做这两个数的最大公因数。

【互质数】公因数只有1的两个数，叫做互质数。

【最简分数】如果一个分数的分子和分母为互质数，称这个分数为最简分数。如：■、■、■等。

（三）知识网络

1.数的从属关系表。

2.计数单位、数位、数级顺序表。

3.小数、分数、百分数互化表。

4.倍数、因数、质数、合数等之间关系图。

（四）智慧点拨

“数的认识”这部分内容基本概念多，容易混淆，复习时一定要注意方法技巧。建议试一试下面的四个方法：

1.弄清概念间的联系与区别。

（1）理解并掌握自然数、分数、百分数、小数的概念和它们的计数单位，准确说出每个数包含的计数单位的个数，会进行数的分解与组成。认识这些数之间的关系。能正确读写整数、小数、分数、百分数。理解小数、分数的基本性质，掌握小数点位置的移动引起小数大小的变化，会约分、通分。理解倒数的意义。

（2）掌握有关数的改写、省略、互化的知识和技能，包括：①把一个较大的多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数；②求小数的近似数；③省略“万”或“亿”后面的尾数；④假分数与整数、带分数的互相改写；⑤分数、小数、百分数之间的比较。

（3）掌握有关数的大小比较的知识和技能，包括：整数、小数、分数、百分数及其它们之间的大小比较。

2.系统梳理，善于比较。

“数的认识”中概念云集，概念与概念之间有一定的联系与区别，复习前进行系统梳理、对照要点查漏补缺，复习时要抓住本质、善于比较，这样会起到事半功倍的效果。

以约分和通分为例，两者既有联系，又有区别。联系在于它们都是依据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。区别在于约分可以只对一个分数进行，而通分需要对两个或两个以上分数进行；约分是对分子、分母同除以一个不等于0的数，而通分则对分子、分母同乘一个不等于0的数；约分的结果是最简分数，通分的结果是同分母分数。

3.把握要点，清晰区分概念。

（1）“数位”和“位数”。“数位”是指写数时，计数单位所占的位置，同一个数字所在的数位不同，表示数的大小也不同。如：“3023”这个数，“3”所在的数位是个位和千位，个位上的数字“3”表示3个一，千位上的数字“3”表示3个千。“位数”是指一个自然数含有数位的个数，含有几个数位就是几位数。如“12345”这个数，它所含的数位分别是个位、十位、百位、千位、万位，由于它含有五个数位，所以它是五位数。

（2）数的“改写”与“省略”。数的改写通常是指为了读写方便，把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数，数形发生变化，但数的大小不变，是精确值，用等号连接。如：12300=1.23万，123400000=1.234亿。而省略一个多位数“万”或“亿”后面的尾数，是要求四舍五入取近似值，一般不仅数形发生变化，而且数的大小也改变，要用约等号连接。如：12300≈1万，34590000000≈346亿。

4.前后联系，串点成线。

复习本身是一个“串点成线”的过程，需要理清知识结构，形成知识网络。例如，在读写中间、末尾有“0”的多位数。读数时先分级（从个位起每四位一级），再从高位起按顺序读。读亿级、万级时，要按照个级的读法去读，然后再加上“亿”或“万”字。写数时，从高位起按顺序写，每级四位，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。在整理数的读写方法时就需要教师注意知识之间的联系，让学生复习数位顺序表、数级的划分以及计数单位的知识。

二、数的运算

（一）目标导航

【整数运算】

1.结合具体情境，体会整数四则运算的意义。

2.能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。

3.能计算两位数和三位数的加减法，三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。

4.认识小括号、中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。

5.探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。

6.在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。

【分数、小数和百分数运算】

1.会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。

2.能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。

【估算和计算器】

1.能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。

2.经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。

3.在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。

4.能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。

（二）要点提示

【加法】把两个数合并成一个数的运算。

【减法】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

【乘法】求几个相同加数的和的简便运算。

【除法】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

【整数加法计算法则】相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十就向前一位进一。

【整数减法计算法则】相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退1作10再减。

【小数加、减法计算法则】先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。）

【分数加、减计算法则】分母相同时，只把分子相加、减，分母不变；分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。

【整数乘法计算法则】把两个因数的数位对齐；从个位起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，乘得的积的末位就要和第二个因数的那一位对齐；把几次乘得的数加起来。（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。）

【小数乘法计算法则】按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点；得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。

【分数乘法计算法则】把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母乘起来作为分母，然后再约分。

【整数的除法法则】从被除数的最高位除起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在哪一位上面写上商；除到被除数的哪一位不够商1，就在那一位的上面写0。（每次除后余下的数必须比除数小。）

【除数是整数的小数除法法则】按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。

【除数是小数的小数除法法则】先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用0补足；然后按照除数是整数的小数除法来除。

【分数除法计算法则】被除数的分子与除数的分母相乘作为分子，被除数的分母与除数的分子相乘作为分母。

【积的变化规律】在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

【商不变的性质】在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。注意：如果是有余数的除法，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数后，商不变，而余数也要扩大（或缩小）相同的倍数。

【四则运算顺序】在四则混合运算中，加、减法是同级运算，也是第一级运算；乘、除法是同级运算，也是第二级运算。在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。在有括号的算式里，要按照先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的顺序运算。

（三）知识网络

1.四则运算的意义。

2.四则运算的关系。

3.整数、小数、分数加减法计算法则的异同点。

4.运算定律和性质。

（四）智慧点拨

1.理解算理，掌握算法。

算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理指导下的一些人为规定。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。因此，在计算教学中重视算理和算法是一个十分重要的课题。在计算教学中应十分重视让学生理解算理，特别是让学生在直观形象中理解算理，让学生不仅知道计算方法，而且要知道方法背后的原理。

2.养成良好的计算习惯，提高计算的速度和正确率。

计算是小学生必须掌握的基本能力。优秀的计算能力基于良好的计算习惯，表现为正确率高、方法灵活、过程简洁。

（1）养成良好的计算习惯

一个好的计算习惯，应该是“一看”、“二想”、“三细算”。一看，就是计算前要注意审题，看清题目中的数据、运算符号和算式的结构特征；二想，就是想算式的运算顺序及怎样灵活、简便地计算；三细算，就是认真、细致地计算，包括：计算过程中注意及时核对数据、检查过程；计算完毕，注意及时验算，确保结果正确。

（2）提高口算和估算能力

提高口算的速度与正确率，能大大提高解题的速度与正确率。提高口算速度的小窍门有：

●熟记一些数的乘积，如25×4，125×8等。

●熟记一些分数与小数的互化，如分母是4、5、8、20的分数。

●掌握一些分数加减法的速算法，如■+■，■-■等。

估算的要领在于根据题目的数据特点，灵活选择合适的估算方法，使估算结果更接近精确值。常用的估算方法有：

●把一个接近整数或整十（百）的数，当做整数或整十（百）数来估，如3.9×5，92×6等。

●把两个接近整数或整十（百）的数，一个数往大估，一个数往小估，如4.7×5.3，62×48等。

●把接近特殊数据的数当做特殊数据来估，如把“24×8”估作“25×8”.

●有时初步估算的结果会与精确值有较大的差异，如把“78×13”当作“80×10”来估，就比实际结果小了214。为了使估算结果更接近精确值，有时估算后要注意调整估算的结果。

（3）正确进行简便运算

运算定律和运算性质是进行简便运算的基本依据，除上面提到的运算定律和性质外，“积的变化规律”和“商不变的性质”也要熟练掌握和灵活运用。

3.恰当使用计算器。

在现代生活中，计算器和计算机普及程度越来越高，这对数学教育将产生重要的影响，特别是对于计算教学的影响。应当使学生了解计算器的功能和作用，特别是知道什么样的问题需要用计算器，以及如何使用计算器解决问题。在探索复杂的现实问题时可以使用计算器，使学生精力更多地用于思考数量关系和规律。在整理统计数据时也可以使用计算器。统计问题的重点不是在计算，而是整理与分析数据，从数据中了解特点和规律。

三、常见的量

常见的量的内容是除了与几何知识有关的测量单位，其它的计量单位的内容，基本在第一学段出现。

（一）目标导航

1.在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。

2.能认识钟表，了解24时计时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。

3.认识年、月、日，了解它们之间的关系。

4.在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。

5.能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。

（二）要点提示

【量】量是事物的一种属性，像长度、面积、体积、时间、质量等都是量。凡是量，都可以用一定的单位来量它。用一定的单位去量一个量，就得到一个数。例如：用米为单位来量南京长江大桥的铁路桥，就得到数6772。

量的大小和表示这个量的数值的大小不能混同。量的大小本来是一定的，而数值的大小则随着度量单位的不同而变化。如：一袋洗衣粉1000克，若以千克为单位则为1千克。

【计量】把一个暂时未知量同另一个作为标准的约定的已知量作比较，这个比较的过程就叫做计量。计量在历史上称为度量衡，其含义是关于长度、容积、质量、速度等的测量。

（三）知识网络

（四）智慧点拨

1.联系生活，精确分清概念。

常见的量比较抽象，单位之间的进率也比较复杂，但它又时时伴随着人们的生活。要解决量的抽象性与学生思维形象性的矛盾，关键是依靠直观学习和实践活动。可利用课本上的插图和具体实物，密切联系学生的日常生活实际，通过教师的直观演示和学生的实践活动，调动多种感官参与，并逐步把感性认识上升为理性认识。

比如：教学千克时，可以让学生亲手掂一掂1千克重的东西，通过肌肉感觉体验1千克的实际重量，还可以出示一些重1千克的常见物品，如一大袋洗衣粉、两袋精盐等，让学生掂一掂，为他们形成1千克的重量观念提供形象具体的支柱，以1千克的重量观念作基础，也便于认识质量单位吨。对于那些较大的计量单位，如千米、吨，虽说没有明确提出初步建立表象的要求，但仍需要通过一些间接的手段，使学生获得一些感性的认识或间接体验。比如教学吨时，可以让学生抬一抬10千克重的东西，并告诉他们100个10千克合在一起就是1吨，还可以根据当地的情况，让学生看看成袋的大米、面粉或水泥等，指出多少袋的重量才是1吨，使学生对1吨的重量有一些具体的感知。

2.体现数学基本思想。

任何一个量的计量都有着类似的漫长的历史过程，这样的过程也是极其朴素的，在量的计量教学中，应使学生认识到。像时间的认识，年、月、日的建立都是人们在生产生活实践中经过观察发现建立的，对小学生来说，并不难懂。

例如：时间单位模型的建立。根据地球自转，产生昼夜交替的现象形成了“日”的概念；根据月亮绕地球公转，产生朔望，形成“月”的概念；根据地球绕太阳公转产生的四季交替现象而形成了“年”的概念。

3.培养估计的意识与能力。

估计是对物体与测量标准间的近似关系做出判断的过程。要使估计结果与精确结果比较接近，学生在头脑中必须不断地将被估计实物与测量标准相类比，不断地调整、尝试，直至认知结构出现平衡。类比活动的顺利与否，与学生头脑里积累的测量标准的清晰与否密切相关。因此，要鼓励学生经常估计，帮助学生掌握一些估计的策略，让学生在亲身体验中建构测量标准的实际意义，使估计有清晰的可类比标准。

例如：估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。本例既可以帮助学生体验1分钟的长短，又是一个估计问题，需要实际测量，在测量的基础上进行简单计算。可以有三类方法进行实际测量：测量半分钟，然后用测得的数据乘2；测量1分钟；测量2分钟，然后用测得的数据除以2。对于学有余力的学生，可以引导他们感悟第一种方法省事，但不够准确；第三种方法费事，但可能更准确一些，这样的练习可以帮助学生建立选择策略的思想。

四、式与方程

（一）目标导航

1.在具体情境中能用字母表示数。

2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

3.能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用。

4.了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

（二）要点提示

“式与方程”主要涵盖以下三个知识要点：

1.用字母表示数。

【式子】用数学符号来表达某种运算的关系式。如：算式、等式、不等式、方程等。

认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示数和数量关系。会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。

2.解简易方程。

【等式】表示相等关系的式子叫等式。如：2+3=5等。

【方程】含有未知数的等式叫方程。如3x+5=23，2x+3x=40等。

【等式的基本性质】等式的两边加上或减去相等的数，等式不变；等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式不变。

【方程的解】使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。如：x=6就是方程2x+5=17的解。

【解方程】求方程的解的过程叫做解方程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的过程就是解方程。

明确“等式”、“方程”、“方程的解”、“解方程”的含义，会用方程表示简单情境中的等量关系，理解会用等式的性质解简易方程。

3.列方程解决实际问题。

用简易方程解决一些实际问题，能根据具体情况，灵活选择算法。

上述三个知识要点中，“用字母表示数”是学习方程的基础，“方程的意义”是学习“解简易方程”的基础，“列方程解决实际问题”则是“解简易方程”的发展。

（三）知识网络

（四）智慧点拨

从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数是又一次抽象。对于小学生来说，初步建立代数的思想具有一定的挑战性。从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，并了解这种表示方法的作用。进而，初步体验符号在数学表示中的作用，初步建立符号意识。

1.掌握规则，准确进行简写。

用字母表示数在写法上有一定的规则。当字母与数字、字母与字母相乘时，中间的乘号可以记作“·”或省略不写；数字与字母相乘时通常把数字放在前面，如a×5或5×a写成5·a或5a；“1”与字母相乘时，“1”可以省略不写，如1×a就直接写成a。相同的两个字母相乘时用“平方”表示，如a×a的简写是a2，读作“a的平方”，表示两个a相乘。a2与2a是不同的，2a表示两个a相加，即a+a。同样a3与3a也不同，a3读作“a的立方”，表示3个a相乘，即a×a×a；而3a表示3个a相加，即a+a+a。需要注意的是字母中间的其它运算符号不能省略。

2.把握要点，清晰区分概念。

“式与方程”中概念虽然不多，但容易混淆。

等式与方程。表示相等关系的式子叫等式。含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程有两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以方程一定是等式，但等式不一定是方程。如：2a>5虽然含有未知数，但不是等式，所以不是方程。3+5=8虽然是等式，但它不含有未知数，所以不是方程。

方程的解和解方程。使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。求方程的解的过程叫解方程。需要注意的是方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个可以使方程两边相等的未知数的值，是一个数值，解方程则是求方程的解的过程。如：x=6就是方程2x+5=17的解，求x=6的过程就是解方程。

3.理解题意，列出简易方程。

简易方程引入的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型有两个：一是求和的关系（部分+部分=整体）；二是求积的关系（每份数×份数=总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加、减、乘、除四则运算的含义，分析题中的数量关系，列出一个算式。这个算式是将已知的数量构成的算式使其结果等于所求的数量。而用方程来解这样的题，可以先用字母表示要求的量，将其看作已知数再根据等量关系列出方程。例如，某班共有学生45人，其中男生有22人，女生有多少人？用算术方法，就是45-22直接列式求要求的量。用方程解，可以先用字母x表示女生的人数，按照数量关系，可以列出方程22+x=45。方程直接用“部分+部分=整体”的思路，x在这里和其它数一起在解题过程中运用，而算术方法是求和的逆运算。在解决较为复杂的问题时，方程与算术方法有着明显的区别。

4.掌握等式性质，解简易方程。

对于解方程《课程标准（2011年版）》明确“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质是“等式的两边加上或减去相等的数，等式不变；等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式不变。”它反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待，这也是代数思维与算术思维的基本区别。一开始从算术方法到代数方法可能显得比较繁琐，特别是对于简单的数量关系，算术的方法操作起来更容易一些。但在解简单方程时还是应当用等式性质，一方面体现代数方法的本质，另一方面是与初中学习方程的思想保持一致。

五、正比例、反比例

正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。

（一）目标导航

1.在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

2.通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。

3.会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。

4.能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

（二）要点提示

【比】两个数相除又叫两个数的比。

【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。

【按比例分配】在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配方法通常叫做按比例分配。

【比例】表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两个叫外项，中间的两个叫内项。

【比例的基本性质】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。

【比例尺】图上距离和实际距离的比，叫做一幅图的比例尺。

图上距离：实际距离=比例尺 或 ■=比例尺

【成正比例的量】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：■=k（一定）

【成反比例的量】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子来表示：

x × y = k （一定）

（三）知识网络

1.比和比例。

2.分数、除法、比的关系。

3.求比值与化简比的区别及联系。

4.正、反比例的判断。

（四）智慧点拨

1.紧密联系生活实际。

正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，是让学生具体地感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。学习中要与实际生活紧密联系，从数量之间关系的角度，理解和掌握两个量之间的变化规律。

2.理清基本概念。

比例、正比例、反比例是这部分的几个基本概念，十分重要。学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答。再如，比例尺的应用及图形的放大与缩小，都要依据比例的意义进行相关的计算。教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。

3.提高综合运用知识的能力。

这部分的知识综合性比较强，如比例的概念与比、除法、分数等相关知识，解比例及用比例方法解决问题，要用到方程的相关知识。所以学习中既要注意新旧知识的联系，又要注意发展学生综合运用知识的能力。

六、探索规律

（一）目标导航

探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。

（二）要点提示

1.探索规律。

探索给定图形或数字中隐含的简单规律。

2.排列组合。

有顺序地、全面地找出事物的排列数和组合数。如用三张数字卡片组成三位数，找出不同三位数的排列数；两件上衣和三条裤子不同搭配，找出不同穿法的组合数。

3.逻辑推理。

能根据已知条件通过判断推出结论。

4.集合思想。

用集合圈准确分类，直观、形象地表示出数学概念，用集合的思想方法解决简单的实际问题。

5.等量代换。

明确等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。

6.统筹优化。

从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。

7.植树问题。

找准总数和间隔数之间的关系，能根据不同的情况总结出规律，并利用这些规律解决类似的实际问题。

8.数字编码。

会用数字或者符号进行编码，准确地表示出事物蕴含的客观规律。

9.鸡兔同笼。

用“假设法”和列方程的方法解决鸡兔同笼问题。

（三）智慧点拨

小学阶段的“数学思考”由各册教材的“数学冲浪”和“探索乐园”组成。与其它的内容不同，它侧重于数学思想方法，侧重于寻找解决问题的策略，侧重于训练数学思维、发展逻辑思维能力。与学习其它内容不同，学习这部分知识时更强调“理解”、“体会”和“感悟”，所以复习时我们更需要注意温故而知新，进一步加深理解和体会。

1.全面回顾，系统梳理。

我们对数学知识的理解，由浅入深，由此及彼，进而认识相关知识之间的内在联系，这个过程不是一次就能完成的，需要有个反复。所以，进行一次系统的、全面的回顾与整理是十分必要的。教材的“找规律”是探索给定图形或数中简单的排列规律。“探索乐园”中渗透了排列、组合、集合、等量代换、逻辑推理、统筹优化、数字编码、鸡兔同笼等方面的数学思想方法。

2.寻找规律，以简驭繁。

数学思想方法看上去很抽象，很繁杂，其实它是有规律可循的。数学思想方法是神奇的，它可以化难为易，帮助我们解决问题。教材中的每一个例子，都是数学思想方法的“形象化身”，因此，我们要真正弄懂每一个例子，领会其所蕴含的数学思想，明白其中的道理。

如“植树问题”关键要分清是段数和棵数，分清两端是否都植树；“排列、组合”的要领是有序、不重复、不遗漏；“鸡兔同笼”是假设的思想或用方程来做找出等量关系……可见，每一类数学思想方法都有相应的要领、思路和方法，关键在于我们要善于把握规律，化繁为简，以简驭繁。

3.联系生活，学以致用。

数学思想方法的应用在生活中随处可见。车票种类问题的排列数，体育比赛的场次设定，电话号码超过多少就要升位等需要用到排列组合的知识；外出旅行怎样选择路线和交通工具，才能使旅行所需费用最少，这些属于优化问题。汽车的车牌号、火车的车次、人们的身份证号等都离不开数字编码思想……只要我们拥有一双善于观察的眼睛，你会发现生活中处处离不开数学。从这些生活原型中提取数学元素，运用数学思想方法解释这些生活现象，真正做到学以致用，才是学习数学的最终目的。

第二部分图形与几何

一、图形的认识

（一）目标导航

1.结合实例了解线段、射线和直线。

2.体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。

3.结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。

4.知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

5.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

6.通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边，三角形内角和是180°。

7.通过观察、操作，认识长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。

8.能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。

9.通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

（二）要点提示

【点、线、角】

●从一点出发可以画无数条射线。过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。

●直线没有端点，可以向两端无限延伸，所以长度无法测量。射线有一个端点，可以向另一端无限延伸，所以长度也无法测量。线段有两个端点，长度可以测量。

●从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点。这两条射线叫做角的边。角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。

●角的分类及特征

【平面图形】

●三角形

由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫三角形。

三角形任意两边的和大于第三边。三条线段，如果两条短边之和大于第三边，则一定能围成三角形。

三角形内角和是180°。一个三角形至少有两个锐角。

三角形具有稳定性。

●四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形具有不稳定性，容易变形。

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

●圆

当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规来画圆。

圆是曲线图形。

在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。

【立体图形】

●长方体和正方体

长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体是特殊的长方体。

●圆柱和圆锥

圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高。

圆柱的侧面是曲面，展开后可能是长方形，也可能是正方形，还可能是平行四边形。

圆锥有一个顶点，圆锥的底面是个圆，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

（三）知识网络

1.基本图形分类及关系。

基本图形线线段射线直线平行线垂线角锐角、直角、钝角平角、周角

2.平面图形的分类及关系。

3.立体图形的分类及特征。

（四）智慧点拨

“图形的认识”这部分内容基本概念多，对空间想象的能力要求高，复习时一定要注意方法技巧。建议试一试下面的四个方法：

1.抓关键词，加深概念理解。

由于几何知识的学习起步早，初学时学生的理解和接受能力不够，以及知识遗忘等原因，学生对“基本概念”的理解往往存在着模糊或错误的认识。如“直线比射线长”，“不相交的两条直线叫做平行线”等。因此，在复习时要注意抓关键词来强化对比辨析，从而加深理解、澄清认识，不仅温故而且知新。

如：“梯形”概念中的“只”字；“两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形”中的“完全一样。”；平行线概念中“同一平面内”等等这些关键词对深入理解概念就很重要。

2.对比辨析，突出概念的特征。

如：线段“有始有终”，射线“有始无终”，直线“无始无终”。平行四边形和梯形的概念对比，不难发现平行四边形是两组对边平行且相等，而梯形是只有一组对边平行。这样就突出了这两个概念的不同点。

3.巧用集合圈，明晰图形之间的关系。

通过这些集合圈，我们就能清晰地明白不同图形之间的包含关系，便于知识点之间关系的掌握、运用。

4.动手操作，深入理解图形形成过程。

如：在理解圆柱和圆锥的形成过程时，一定用一张长方形纸像下（图一）这样旋转一周，然后想象圆柱形成的过程，这样就能帮助理解什么是圆柱的高、圆柱的侧面是一曲面、圆柱的高有无数条这些相对抽象的知识点了。再如圆锥的形成（图二）、圆锥侧面展开图是一扇形（图三）这些知识点都可以通过动手操作来深入理解。

二、测量

（一）目标导航

1.在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。

2.结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。

3.探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。

4.能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°的角。

5.知道面积单位：千米、公顷。

6.通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。

7.会用方格纸估计不规则图形的面积。

8.通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），能进行单位之间的换算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的实际意义。

9.结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。

10.体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。

（二）要点提示

【周长】围成一个平面图形所有边长的总和。

【面积】指物体表面或围成的平面图形的大小。

【表面积】物体表面的总面积叫做物体的表面积。

【体积】物体所占空间的大小叫做物体的体积。

【容积】仓库或容器所能容纳物体的体积叫容积。容积单位一般用体积单位。当计算能容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。

【体积和容积的异同点】容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从外面量长、宽、高。

【测量的单位及进率】

（三）知识网络

1.平面图形的周长和面积计算公式。

2.立体图形的表面积和体积计算公式。

立体图形长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2体积=长×宽×高正方体表面积=棱长2×6体积=棱长3圆柱表面积=底面积×2+侧面积 （侧面积=底面周长×高）体积=底面积×高圆锥：体积=底面积×高×■

（四）智慧点拨

“测量”这部分内容不仅对空间想象的能力要求高，涉及到的计算公式很多，而且与生活联系紧密，习题富有变化，因此，在学习这部分内容时一定要活学活用，注意方法。

1.试用倒说法，深刻理解结论内涵。

对于重要的结论，我们还可以通过“倒说法”，即颠倒“前提”和“结论”，倒之则错，来强化对结论的理解。如“等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的三分之一”，倒说成“如果圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，那么它们一定等底等高”，说法就是错误的。

2.借助表格，突出公式之间的联系。

在前面知识点梳理的过程中，大家可以借助表格，把知识梳理成网、串点成线的过程中，清晰地发现不同的平面图形的周长和面积计算公式、不同立体图形的表面积和体积计算公式之间的区别和联系。这样强化对比，突出不同，对理解公式，灵活运用公式解决问题是非常必要的。

3.突出想象，形成画图习惯。

图形与几何离不开想象，但单纯依靠想象，事倍功半。如果“想象”与“画图”结合起来，才能事半功倍，因为画图能帮助我们把抽象的具体化，把不易理解的形象化。一个喜欢画图的人，一定是善于想象的人。

如：把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？

如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：

从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加2个正方形的面，每个面的面积是8÷2=4（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4×6=24（平方米）。

再如：用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少？

按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况：

（l）拼成长方体的长是2×3=6（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（6×3+6×l+3×l）×2=54（平方厘米）。

（2）拼成长方体的长是3×3=9（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（9×2+9×1+2×1）×2=58（平方厘米）。

（3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1×3=3（厘米）。表面积为（3×2+3×3+2×3）×2=42（平方厘米）。

这道题有以上三种答案，通过画图起到审题和理解题意的作用。

4.领会过程，感悟数学思想。

比知识重要的是方法，比方法重要的是思想。数学学习不仅要掌握知识，学会方法，还要感悟蕴涵在数学知识形成、发展和应用过程中的数学思想。这部分内容，最值得玩味的是“转化”的数学思想。通过转化，用旧知识解决了新问题；通过转化，无从下手的问题会变得易如反掌。因此，这里的“领会过程”包含了两个过程：一是公式的推导过程，对于公式推导过程中的转化思想和方法，我们头脑中要能清晰地再现。请根据下列图形面积公式或体积公式的推导过程来进一步感悟“转化”思想的奇妙吧！

二是解决问题的过程，对于解决问题过程中的转化思想和方法，我们也要掌握要领、学会灵活应用。

5.联系实际，解决生活问题。

计算公式是死的，生活问题是活的。解决问题一定要联系生活，联系实际，具体问题具体分析，不可硬套公式，要灵活应变。

以“表面积计算”为例，首先要根据生活尝试进行判断：计算的对象缺不缺面？缺的是哪个面？有的是缺上面，如游泳池、火柴盒的内匣；有的是上下面都缺，如竖立的通风管、两层楼之间的立柱；还有的可能缺某个侧面等等。再比如“取近似值”计算制作水桶的材料，要用“进一法”；计算水桶的容积，要用“去尾法”。这些都需要根据具体问题和生活常识，作出正确的判断和选择。否则，就可能闹出一些笑话。

三、图形的运动

（一）目标导航

1.通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。

2.通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90°。

3.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。

4.能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。

（二）要点提示

【平移】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。决定平移后图形位置的关键有两个：一是平移的方向；二是平移的距离。

【旋转】在平面内，将一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小。决定旋转后图形位置的关键有两个：一是旋转的方向；二是旋转的角度。

【放大与缩小】图形的放大与缩小是指按“一定的比”放大或缩小——前项为1是缩小，后项为1是放大。把一个图形按一定的比放大或缩小，只要把图形的各边按一定的比放大或缩小。如按2：1放大，只要把图形的各边放大到原来的2倍（面积为原来的4倍）；按1：3缩小，只要把图形的各边分别缩小到原来的■（面积为原来的■）。

图形的放大与缩小，只改变图形的大小，不改变图形的形状。

【轴对称图形】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

（三）知识网络

1.平移与旋转的方法。

2.一些常见平面图形的对称轴。

3.图形的运动与变换的分类方式。

图形的运动与变换变换图的位置平移旋转改变图形的大小缩小放大对称轴对称轴对称图形

（四）智慧点拨

小学阶段，学生对“图形的运动”定位有了感性体验、初步认识。观察、动手操作是学好这部分内容的重要方法和手段，因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形运动这些抽象概念来说尤其重要。因此在教学过程中，一定注意以下方法来辅助理解这部分内容。

1.结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动。

在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移、旋转变换，同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。

例如，教学“图形的变换”时为丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸、车轮、钟摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学 “轴对称变换”时，可借助下面一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。

2.借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会变换的特征。

加强学生的操作活动，也是提高图形变换教学成效的一个策略。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。

如教学“线的旋转”环节，让学生通过用铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点）进行旋转。来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点，为后面在方格纸上画线段提供实物支撑。

3.注重从变换的角度引导学生欣赏图形、设计图案。

学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界。因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案。例如，“感悟旋转的应用”时，教师可以借助信息技术，动态呈现一些基本图形旋转后形成的美丽图形和图案，鼓励学生从变换的角度欣赏图形与图案，感受其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美。还可以把在生活中随处可见的美丽图案展示出来，学生在观察这些图案时，不难发现其中包含的熟悉的图形，就会运用数学的眼光分析图案的组成，识别不同基本图形的变换过程，从而激发学生的创造性思维，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案。

4.在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力。

①从变换角度认识图形。在认识图形的教学过程中可以借助变换，动态直观地刻画图形的属性。例如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形，在认识它们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。

②从变换的角度理解度量。小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中，会用到拼凑、割补等多种推导的方法，这些方法的实质是图形的变换。

四、图形与位置

（一）目标导航

1. 会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。

2. 给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向。

3.了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。

4.能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。

5.会描述简单的路线图。

6.在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。

（二）要点提示

【根据方向和距离确定位置】

●用上、下、前、后、左、右来确定位置，主要用来确定现实空间中物体的位置。

●用东、南、西、北、东南、东北、西南、西北八个方位来确定位置，或用方向和距离结合起来确定位置，既可以用来确定现实空间中物体的位置，又可以用来确定平面图上物体的位置。

●根据方向和距离确定位置的方法。

先确定方向，再确定距离。

确定物体所在的方向，除正东、正南、正西、正北和东北、东南、西北、西南八个方向外，生活中一般我们先说与物体所在方向离得较近（夹角大小）的方位。如下图，描述学校的方向和位置，一定首先确定观测点。如果是以小明家为观测点，那学校的方位，一般说成“在小明家的北偏东30°400米的地方”，不说成“东偏北60°”。

【用数对表示位置】

用数对来确定位置，主要用来确定平面图上物体的位置。

用数对表示位置的规则：先列后行。横排为行，竖排为列。确定第几列，一般从左往右数；确定第几行，一般从前往后数（方格纸上从下往上数）。

（三）知识网络

（四）智慧点拨

“图形与位置”这部分教学的总体建议：空间与人类生存和居住密切相关，了解、探索和把握空间，能使学生更好地生存、活动和成长。“图形与位置”的内容是“空间观念”在教材中的具体呈现，因此，发展学生的空间观念是“图形与位置”教学的核心目标。

在“图形与位置”的教学中，如何更好地发展学生的空间观念呢？在此有三点建议：

1.充分利用学生的生活经验。

学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”、“校园内”、“电影院中”、“上学路上”等熟悉的情境中学习“位置与方向”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。

2.让学生经历生活，经历回忆、观察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程。

发展空间观念的途径是多样化的，在教学中教师只有让学生经历了多样化的数学活动过程，才能逐步发展空间观念。

3.倡导自主探索与合作交流的教学方式。

以被动的听讲和练习为主的方式，很难形成空间观念。培养空间观念需要大量的实践活动，学生需要有充分的时间和空间去经历多样化的数学活动过程，这不仅需要自主探索、亲身体验，更需要合作交流。

如：上海在北京南偏东30度方向上（如下图），这是以北京为观测点。如果以上海为观测点，上海与北京这一相互位置关系也可以换成下面说法：

北京在上海北偏西30度

方向上

教学中教师应加强对比，

让学生体会到选准观测点的

重要性。

第三部分 统计与概率

一、简单数据统计过程

（一）目标导航

1.会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法收集数据，并把数据记录在统计表中；会进行数据的收集、整理、描述和分析。

2.认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图；能用条形统计图、折线统计图直观且有效地表示数据。

3.理解平均数的意义，会用平均数、众数、中位数等统计量描述数据的不同特征。

4.能从报纸杂志、电视等媒体中有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。

5.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测。

（二）要点提示

【平均数】表示数据集中程度的一个统计量。用该组数据的总和除以该组数据的样本总数得到的商。

【中位数】把一组数据从大到小（或从小到大）依次排列，处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数，叫做这组数据的中位数。

【众数】一组数据中出现次数最多的那个数值叫做这组数据的众数。

（三）知识网络

1.统计活动过程。

2.统计图的特点和作用。

用统计图表示有关数量之间的关系，比统计表更加形象具体，使人一目了然，印象深刻。它们各自的特点和作用见下表：

3.选择合适的统计量。

平均数、中位数、众数三个统计量意义不同，特点和适用范围也不同，详见下表。

（四）智慧点拨

1.填写复式统计表的表头时要注意不要漏了项。要注意横格与竖格所表示的项目内容。填写分段数据时，数据分段要匀，不要有重叠。

2.在用复式条形统计图和复式折线统计图表示数据时，要注意用不同的条形或折线加以区分，并注明图例。

如：

3.在用折线统计图表示数据时，如果横轴上的数据不是相等的，要注意间隔和所表示的数据成比例。

如，某市无线电一厂产值增长情况如下：

用折线统计图表示上面的数据时，要注意2003年到2006年是3年，2010年到2011年是1年，其他的是2年间隔。

4.平均数、中位数、众数这三个统计量各有优势，在实际问题中需要选择合适的统计量去描述数据的集中趋势。

如：有一家鞋店，最近销售各种尺码鞋的数量为31双，其中各种鞋的销售量如下表：

为这家鞋店提供进货建议时，我们可以看到，在鞋的尺码组成的一组数据中，21是这组数据的众数，21码的鞋子销量最大，所以建议鞋店多进21码的鞋子。

二、随机现象发生的可能性

（一）目标导航

1.感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。

2.感受随机现象结果发生的可能性是有大小的；能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。

（二）要点提示

【确定现象】生活中会遇到很多事件，有些事件的结果是可以预知的，包括一定会发生的事件和不可能发生的事件，我们称此类事件叫确定现象。通常用“一定”或“不可能”来描述这类现象。

【随机现象】生活中的有些事件发生的结果是不确定的，如掷一枚硬币，正面向上还是反面向上；射击时，是中靶还是脱靶；某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件。在一定条件下是否发生，不能预先确定，这就是随机现象。通常用“经常”、“偶尔”或 “可能”等词来描述这类现象。

【等可能性】指事件发生的可能性相同。

（三）智慧点拨

1.分辨可能性的大小。在分辨可能性大小的问题中，最常用的方法是将所有可能的情况都列举出来，哪种情况出现次数越多，其发生的可能性就较大。

如：一个袋子中放着2个红球，1个黄球，1个白球，这几个球的形状和大小完全一样。从袋子中任意摸出一个，摸到哪种球的可能性大？

分析：要判断摸到哪种球的可能性大，首先要将从袋子中摸出一个球的所有可能情况列举出来。袋子中有4个形状大小完全相同的球，任意摸出一个球，这4个球被摸到的可能性是相等的，所以一共有4种可能结果，而袋子中装有2个红球，即红球出现的次数多，因此摸到红球的可能性就大。

第四部分 综合与实践

（一）目标导航

1.结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。

2.在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制订简单的方案解决问题的过程。

3.通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，感受数学在日常生活中的作用，获得数学活动经验。

（二）智慧点拨

1.认真审题，筛选提取有用信息。

综合与实践内容涉及面广，题材选择开放，题型千变万化，表达形式活泼，信息资源丰富。因此，在解决问题前需要我们认真审题，从数学的角度去观察、发现、收集信息，并对所有信息进行筛选，提取有用数学信息，明确题目要我们做什么。

2.迅速思考，及时填补知识空隙。

明确问题后要迅速思考这道题属于哪类数学问题，需要运用哪些数学知识和方法，然后按照解决此类问题的一般方法与步骤去解决。解决综合性较强的问题的难点在于利用现有知识往往不能直接解决，现有知识和现实问题之间存在“空隙”，解题时要迅速找到两者之间的桥梁，及时填补知识上的空隙。

3.仔细分析，注意整合多种方法。

综合与实践类问题往往不是用哪一种方法就能解决的，它需要多种数学方法的参与，要注意运用列表、假设、倒推等多种策略去尝试解决那些综合程度较高的题目。

4.“综合与实践”这类问题将综合运用“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”等知识和方法解决问题，会显示出一个人多方面的能力，比如：搜集数据的能力、分析筛选数据的能力、课外调查的能力、与他人合作解决问题的能力等。

例如，某班计划清明节春游踏青，应该到哪出游呢？应该选择什么样的出行工具呢？所需要的费用大概是多少呢？

解决这一问题，需要提前进行充分的调查、论证，一起商讨出一个比较合理的清明节春游踏青方案。通常我们可以采用下面的流程来尝试解决。

首先，我们应该把出行目的地的选择和出行路线的设计、出行工具的选择、门票的费用和其它方面的费用等进行工作的分工。

其次，由每一组同学分别就自己负责的内容进行数据的调查。比如：负责目的地选择的一组同学要把我们可能去的符合大家需要的所有目的地情况进行汇总，列出每个目的地的优势与劣势；负责选择出行工具的同学，要对不同的出行工具的优势与劣势、所需的费用、同一种工具不同公司的报价调查清楚，同时还要根据几个不同目的地的位置，设计出几种相应的乘车路线供大家选择；而负责各种费用的组的同学，则需要对除了出行工具之外的所有费用进行估计，可能要包含：门票、饮食、药品等许多类别，另外，饮食方面的调查需要考虑到全班学生的爱好、营养的搭配、是否便于携带等因素。

第三，以上各组要把本组调查后的数据提交全班交流，由全班同学一起筛选，拿出一个让全班大多数人比较认可的初步方案。

第四，各组同学按照全班初定的方案，重新进行各种数据的补充调查。

最后，大伙一起商讨出一个比较完善的清明节春游踏青方案。

在清明节春游踏青方案实施过后，所有的学生最后可以通过多种不同的形式展示自己在参与前期调查以及整个方案实施中和实施后的收获，比如：手抄报、PPT、实验报告和小论文等方式均可。对这个问题的设计和探讨，有利于学生提高收集、整理信息的能力，并使其养成与他人合作的意识。