留数在计算实变函数积分中的应用

摘 要：留数是复变函数中的重要定理，留数定理在复变函数中的应用相当广泛。不仅仅是在复变函数中，在实变函数中，留数也起着非常重要的作用。将实变函数的积分转化为复变函数的积分，再利用留数进行计算，可以计算出一些难以计算的定积分或者不定积分。

关键词：留数；复变函数；实变函数

在数学分析以及一些实际问题中，常常要计算一些定积分或者不定积分的值，而一些被积函数的原函数往往难以求出，或是不能用初等函数表示出来，一些原函数虽然能够求出，却非常复杂。然而在实际应用中，常常需要将复杂的积分计算出来才能继续研究。例如，光学中需要计算的菲涅尔积分、阻尼震动中需要计算的积分等，这些积分的值都具有重要的意义，但是根据牛顿—莱布尼兹公式难以计算出它们的值。此时，可以利用复变函数中的留数进行计算。

根据复变函数中的留数定理，要计算某些定积分或不定积分，只需计算出一些解析函数在孤立点的留数，由于留数的计算较为简便，这就把问题大大简化了。现阶段尚没有利用留数计算定积分或不定积分的一般方法，但在一些特殊情况下，根据被积函数本身的一些特性，可以总结出一定的计算规律。

下面研究几种特殊形式的实变函数利用留数进行计算的方法。

（1）积分形如I=■R（sint，cost）dt，在半径为1的圆上，分母不等于0。此种情况一般做圆，再将x和y转化为关于参数t的形式，将原实变函数的积分转化为复变函数的积分，再根据复变函数的留数进行计算。

例1.计算积分I=■■，其中常数a>1

解：根据积分区域可知，令eit=z，实变函数的积分转化为了复变函数的积分，要计算此复变函数的积分，只需计算被积函数在半径为1的圆内的极点处的留数。积分的被积函数在半径为1的圆内只有一个极点z1，于是可以求得积分值为■。

（2）积分形如I=■R（x）dx，其中R（x）是有理分式，R（x）的分母在实数轴上恒不等于0，且分母次数比分子的次数至少高2次。对于这一种情况，由于自变量是在实数轴上取的，将其建立在复数平面上，假设积分区域是有限的，并将其扩充为复平面上的上半圆，寻找被积函数在上半圆内的极点，就可以根据留数的性质进行计算。

例2.计算积分I=■■

解：根据实变函数积分的性质，这一积分显然是收敛的，因此根据留数定理计算较为简单。事实上，被积函数有两个二阶极点，在上半平面内它的二阶极点是z=i。

现做圆盘，以复平面原点O为圆心，r为半径，考虑这一圆盘在上半平面的部分，可以取r>1，使得z=i包含在上半圆内，于是沿着Cr取积分，可以得到积分值为■，其中，Fr表示Cr上圆弧的部分，其方向为逆时针方向，在原式中令r趋近于+∞就得到积分值为■。

（3）积分形如I=■f（x）eixdx，其中f（x）在复平面上半平面上只有有限个孤立奇点，除了这些孤立奇点外f（x）处处解析。对于这一种情况，需要利用复变函数积分的性质：设f（x）是在环状闭区域上连续变化的复变函数，如果当z在这闭区域上时，f（x）的极限为0，那么就有当z趋于正无穷时，上述积分值为0。

例3.计算积分I=■■dx

解：现取？着和r，使得r<？着>0，就将实变函数的积分化为了复变函数的积分，函数■的零点只有z=0，于是在复平面上增加一个以原点为圆心、？着为半径的半圆，于是根据柯西定理，沿整个扇环积分的积分值为0，在这里Гз和Гr的积分分别是沿着顺时针和逆时针方向取的。在原点的一个领域内，令？着趋近于0，r趋近于正无穷，根据上述定理，即可知积分值为■。

上面的三种典型积分和三道典型例题，基本可以反映出留数在计算实变函数积分中的作用，如果将这三种典型积分进行推广，就可以利用留数计算实变函数中大量难以解决的问题。事实上，实变函数中许多难以计算的积分都是通过复变函数的方法计算出来的。

一方面，留数理论极大地促进了复变函数的发展，并有助于复变函数成为其他学科的研究工具和研究基础，留数的提出是对复变函数的极大补充与完善。复变函数论是在数学分析的基础上发展起来的，因为复变函数中的许多概念与数学分析所差无几，例如极限、连续、导数、积分等，所以复变函数可以看作是数学分析研究领域的扩展。另一方面，复变函数中的许多工具，例如留数，反过来又促进了数学分析理论的发展。所以，实变函数和复变函数是相互促进、共同发展的。

参考文献：

余家荣.复变函数.高等教育出版社，2010-12.

作者简介：张君一，1993年8月出生，男，籍贯：江苏省南京市，现职称：无，学历：本科，研究方向：数学与应用数学。

（作者单位 山东大学数学与统计学院）