用灵活的方法求解不定积分

薛秋

【摘要】求解不定积分是高等数学中最基本、最主要的内容之一.由于不定积分的多变性、复杂性导致许多不定积分按照传统的求法比较困难或不易求出. 如果我们能灵活使用各种积分方法和技巧，则许多不定积分很快就能顺利地求出.

【关键词】高等数学；不定积分；灵活使用

在高等数学中，求解不定积分是最基本、最重要的内容之一.由于不定积分是微分的逆运算，所以决定了求解不定积分的复杂性、多变性，也就是这样造就了许多解题技巧和灵活的解题方法，那么在解题过程中怎样才能快捷、正确地求出结果呢？这就要求必须仔细观察被积函数的结构特点，灵活组合使用各种积分方法和技巧，从而顺利地求出不定积分.下面举例说明.

例1 求∫dxsinx.

分析 本题大家最容易想到的方法是将分子化成：1=sin2x2+cos2x2，但这样求解过程比较烦琐，如果我们能利用凑微分：sec2xdx=dtanx，则运算会得到简化.

解 ∫dxsinx=∫dx2sinx2cosx2=∫sec2x2dx2tanx2=∫dtanx2tanx2=lntanx2+C.

例2 求∫cosxsinx+cosxdx.

分析 本题若用万能代换t=tanx2求解，则计算工作量较大，显然不是最好的方法.如果我们能根据被积函数的特点，对分子做添项减项处理，再利用凑微分（-sinx+cosx）dx=d（sinx+cosx），从而快捷地求出结果.

解 ∫cosxsinx+cosxdx=∫cosx+sinx-sinxsinx+cosxdx=∫dx+∫-sinx+cosxsinx+cosxdx-∫cosxsinx+cosxdx.

从而2∫cosxsinx+cosxdx=∫dx+∫d（sinx+cosx）sinx+cosx，

故∫cosxsinx+cosxdx=x2+12lnsinx+cosx+C.

例3 求∫dxx（x7+1）.

分析 该题若用待定系数法求解，需要确定8个系数，这样的计算量是很大的，但仔细观察被积函数的特点，如果将分子、分母同乘x6，再利用凑微分x6dx=17dx7，则计算过程就会大大简化，从而顺利求出结果.

解 ∫dxx（x7+1）=∫x6dxx7（x7+1）=17∫dx7x7（x7+1）=17∫（1x7-1x7+1）dx7=17lnx7-17lnx7+1+c=17lnx7x7+1+C.

例4 求∫x51-x2dx.

分析 本题被积函数含有1-x2，因此大家最熟悉的方法是换元积分法，即令x=sint，但这样计算量较大，如果我们将x5化成x4·x，再将x4化成x4=[1-（1-x2）]2，则计算量就会大大减少，从而提高解题的技巧.

解 ∫x5 1-x2dx=12∫x41-x2dx2=-12∫[1-（1-x2）]21-x2d（1-x2）=-12∫[1-x2-2（1-x2）32+（1-x2）52]d（1-x2）=-13（1-x2）32+25（1-x2）52-17（1-x2）72+C.

例5 求∫dx（x2-a2）3.

分析 由于被积函数含有x2-a2，因此自然会想到变量代换x=acsct，但这样并不是灵活的方法.如果我们观察被积函数的特点，将分子化为：1=x2-（x2-a2）a2，则解题的灵活性会得到很大的提高.

例6 求∫x+1x（1+xex）dx.

分析 表面上求解该题似乎无从下手，但我们观察被积函数的特点并注意到d（xex）=ex（1+x）dx，这就是提示我们分子、分母必须同乘ex，从而达到理想的求解效果.

解 ∫x+1x（1+xex）dx=∫ex（x+1）ex（1+xex）dx=∫d（xex）xex（1+xex）=∫1xexd（xex）-∫11+xexd（xex）=lnxex1+xex+C.