浅谈小学数学中蕴含的基本思想方法

张国生

[摘 要]《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》把“双基”改为“四基”，即把原来的“基础知识”与“基本技能”修改为“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活动经验”。数学的精髓在于数学基本思想，它并没有像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。小学数学中蕴含着哪些最基本的数学思想方法呢？笔者从长期的教学实践中总结出有如下方面最基本的思想方法：观察比较思想方法、分类的思想方法、抽象和概括思想方法、数形结合思想方法、化归思想方法等。

[关键词]小学数学；基本；思想方法

[中图分类号]00 [文献标识码] A [文章编号] 1009 — 2234（2013）07 — 0152 — 02

《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）总目标明确要求：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。《标准》把“双基”改为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。 以往，我们通常把概念、性质、法则、公式、数量关系以及解题方法等作为数学的组成部分。当然，没有这些组成部分，数学就不存在了。但是，只有这些组成部分，也不是本质意义上的数学，数学至少还包含由这些内容所反映出来的思想方法。也可以说数学的精髓在于其基本思想，在教学活动中“基本思想”应是主线，但是数学思想不像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，也是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接而具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。

小学数学中蕴含着哪些基本的数学思想方法呢？

一、观察和比较思想方法

在逻辑学上，观察和比较是重要的思维方法，现代数学思想方法把观察法和比较法看作是最基本的数学思想方法。

观察是思维的窗口，是认识的开始，是解决问题的基础，可以说科学上的重大发现多起源于观察。没有牛顿观察到苹果从树上掉下来，就没有万有引力定律的产生，没有爱迪生一生的观察与探索，就没有“世界发明大王”的诞生。观察对数学学习也是十分重要的，数与代数，统计与概率，空间与图形，实践与综合应用，每个领域的学习都离不开观察。良好的观察力是学好数学的基本条件，也是激发学生的数学探索精神、引发数学发现的源泉。

例如，人教版小学数学一到六年级都有观察物的内容，课程的基本要求就是通过学生观察物体，概括物象培养学生的空间观念，可见，观察法这一思想方法对数学学习是多么重要。

比较是通过观察，分析对比研究对象的共同点和差异点。它是认识事物的最基本的思想方法之一。爱迪生说：我平生从来没有做出过一次偶然的发明，我的一切发明都是经过深思熟虑和无数次的尝试比较的结果。

例如，人教版小学数学第一册《比一比》就是让学生开展简单的比较活动，经历并体验比较的过程，建立多少、大小、长短等数学概念。

二、分类思想方法

数学中的分类是按照数学对象的异同点，把研究对象按某种“标准”分成几类的一种思想方法。按照某一标准，同类者具有相同点；不同类者有相异点。分类和比较是唇齿相依的的，分类和比较同时存在相互促进。

例如，人教版小学数学一年上册第五单元《分类》教学要求是：通过分形体异同的物体、颜色异同的物体、长短异同的物体、用途异同的物体等活动，初步体验分类思想，探索分类的方法，为以后学习数学打基础。再如：能被2、3、5整除的数的特征、三角形的分类等等都是建构在分类的数学思想基础上进行学习的。

三、类比思想方法

在数学教学过程中，根据两种事物的相似或相同的形式或规律，通过推理运用到另一类事物中去，如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法。这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象的已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法，也叫“比较类推法”。往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。

例如，找规律：由图形规律类比到数字规律；又如，在学习（a+b）c=ac+bc类比到（a-b）c=ac-bc；再如将小数乘法的意义类比到分数乘法的意义等等，在数学知识的推导中类比法是十分重要的学习方法，它也是人脑认识世界时可以像模块一样复制的直接根据。

四、化归方法

所谓“化归”，可以理解为转化和归类的意思。化归方法是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。

例如，假期中，班长、学习委员和劳动委员都到学校参加义务劳动。班长每2天到校一次，学习委员每4天到校一次，劳动委员每5天到校一次。7月15日三人统一放假，几月几日他们又再次一起到校劳动？班长从7月15号算起第几天到校正好是2的整倍数，学委从7月15日起第几天到校正好是4的整倍数，劳动委员从7月15号起第几天到校正好是5的整倍数，三人又再次一起到校的时间从7月15号算起第几天正好是2、4和5的“最小公倍数”。因此求出2、4和5的最小公倍数后只要从7月15日往累计上这个天数就可以了。此为题的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这正是化归思想的实际运用。

五、数形结合思想方法

提到数形结合让人很快会想到几何问题的解决，其实数形结合就是通过图形可以很快的抽取出数或数量以及数量关系。从解决问题的策略上来说就是通过直观的图形表示隐含的问题。

解决应用题时多数用画线段图的方式辅助分析。

例如，AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？

六、抽象和概括思想方法

抽象和概括是两种非常重要的数学方法，数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。 抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的属性抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。而舍弃的是事物的非本质特征。

概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。概括包含两方面，一是推广，把个别事物的某些属性推广到同类事物中去，二是总结，把同类事物的共同属性总结出来。

抽象和概括是两种不同的数学方法，抽象侧重于分析和提炼。而概括侧重于归纳和总结。但二者又有着密切的关系。抽象是概括的基础，概括是抽象的综合。

如：在学习长方形和正方形面积一课，先让学生通过透格子的方法，先测量每个长方形和正方形的表面布满了几行几列的一平方厘米的格子，再用乘法表示出行数×列数=面积，通过多次试验，然后再观察每个长方形或正方形的面积与蒙上去的格子纸行列之间的关系，进而总结出：长方形的面积=长×宽，正方形面积=边长×边长。这一例子是充分的利用了抽象概括的数学思想。

七、归纳猜想思想方法

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。马克·吐温说过：想出新办法的人在他的办法没有成功以前，人家总说他是异想天开。但这种异想天开正是猜想，它是启动所有伟大创举开端的梦。歌德巴赫猜想由1742年他的一串等式6=2+2+2，9=3+3+3，12=2+5+5，7=2+2+3，10=2+3+5，13=3+5+5，8=2+3+3，11=3+3+5，14=2+5+7，…开始的，他按耐不住兴奋，写信告诉欧拉说，他想冒险发表下列猜想：“大于5的任何自然数是3个素数之和。” 这一猜想至今仍无人能够证明，我国数学家陈景润是目前取得成果最好的。这就是一个好猜想的巨大价值！有了猜想就有了前进的动力，我们的习主席提出的“中国梦“，不就是引发着我们中国人对非常幸福的现实充满着梦想，对我们不可预知的幸福要充满猜想吗？

八、数学模型思想方法

模型思想是此次《标准》修订新增的核心概念之一。 所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象、概括地表征所研究对象（中小学主要指现实问题）的主要特征、关系所形成的的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，为表征特定的现实问题，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程 、函数、不等式、及各种图表、图形等都是数学模型。如长方体体积公式的推导，利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型v=abc，这是一个典型的模型化过程。

如左图，瓶子高度为25厘米，下部成直圆筒形，内装8两油，油面高14厘米，若将其倒立，则油面高18厘米。这个瓶子可装油多少两？

分析；此题是求水的容积，有一个在建模过程中需要假设，就是矿泉水瓶援助部分并不是一个圆柱的形状，这样才便于建立模型，由于不知道圆柱的底面积，所以无法用容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想，根据容积公式v=sh.可知如果底面积一定，容积与圆柱的高成正比，这样就把求容积问题转化为比例问题。由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则，倒立过来以后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度的一半是7厘米。满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子后，高度为21厘米的水。满瓶的水为v毫升，列式为：v： （14+7）= 8：14，V = 12

数学的思想方法还有很多，如：对应思想方法、假设思想方法、符号化思想方法、集合思想方法、统计思想方法等等，都是我们在教学实践中需要加以重视的，这里就不再一一赘述。

小学数学教学的根本任务是提高学生的综合素质，在小学数学教学中有意识地渗透一些基本的数学思想方法，有利于培养和发展学生的认知结构，有利于培养和开发学生的潜能，有利于培养学生的审美情趣，使学生会“数学地”思考和解决问题，把知识学习与能力养成、智力发展有机地统一起来。教学中，笔者建议教师要根据学生的认知规律和年龄特征，有意识地挖掘蕴含在教材里的隐性资源，真正把数学思想方法的渗透落到实处，使学生的数学思维能力得到有效的发展，数学素养得到全面的提高，为培养新世纪的新型人才奠定坚实的基础。

〔参 考 文 献〕

〔1〕全日制义务教育数学课程标准〔M〕.北京：人民教育出版社，2011.〔责任编辑：侯庆海〕