试题的破套出新与思维的同中求异

缪海峰

摘 要：课堂上如何让学生的思维“动”起来，例题“活”起来，教师“静”下来？为学生提供更多的思维入口处，增加思维的广度和深度是新课标对每个教师的基本要求. 本文对2012年江苏高考第19题进行了多样化的探索与多元化的思考，并以此为例，与同行共同切磋如何在数学例题讲解中既能在思路上“破套”，又能在技巧上“出新”；既能在思维引领上“求同”，又能在最近发展区“求异”.

关键词：高考试题；思维；破套；出新；迁移；求异

在对高三理科学生进行2012年高考卷评讲时，笔者讲了江苏高考第19题.

[?] 题目再现——引领学生从“已有水平”向“潜在水平”转化，努力搭建科学的思维支架

如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）. 已知（1，e）和e

，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（ⅰ）若AF1-BF2=，求直线AF1的斜率；

（ⅱ）求证：PF1+PF2是定值.

按照答案讲解如下：

解：（Ⅰ）由题意a2=b2+c2，e=. 由点（1，e）在椭圆上，得+=1，解得b2=1，于是c2=a2-1. 又点

[?] 结论推广——知识的交叉决定了方法的交叉，而能力则是数学测试的最基本立意，因此在研究试题讲解中的科学性与导向性时，教者的一个重要责任是“寓教寓思”、“寓题寓变”，努力向思维的纵深进军

“点P的轨迹是一个椭圆，”一个学生说.

“是不是本题还具有普遍性呢？”又一个学生提问.

听了学生所讲，点P的轨迹是一个椭圆没有问题，但本题结论有没有普遍性呢？笔者不敢下结论，于是决定当场研究本题.

笔者接上来，“点P的轨迹显然是一个椭圆，问题②有没有普遍性呢？这个问题老师也没有研究过，我们一起来研究怎么样.”

学生的积极性又被调动起来.几分钟后有学生回答：

设椭圆方程为+=1（a>0，b>0），AF1∥BF2，直线AF1的方程为x=-c+l·cosθ，

[?] 反思

学生的潜能开发一定要有序进行，有路可循，有支架可支撑. 从特定椭圆到一般椭圆，再至双曲线，最后到抛物线的偏正质疑正是遵循智力的再开发、思维的再起航所进行的. 这一道试题的解法中的出新还给我们这样一种启示：教学的最佳效果应当以典型试题为载体，多元解法为平台，以学生思维开发的“路”与“桥”为终极目标. 这样才可收“举一反三”之效、获事半功倍之好.