数学教学中培养学生创造性思维能力

张网军

摘 要：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，发展学生的创新意识，这是数学教育的基本目标之一. 要有创新意识，就必须拥有创造性思维，在数学教学中如何培养学生的创造性思维能力？通过阅读李嘉曾《创造魅力》一书，并结合自己平时教学案例，笔者发现采用一题多解、多题一解和一题多变的教学方式，有助于产生创造性思维成果.

关键词：思维；创造性；数学

数学是思维的科学，是训练思维、增长智慧的，是聪明学. 《普通高中数学课程标准》中强调高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探索活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识. 要有创新意识，就必须拥有创造性思维，那么何为创造性思维？展开怎样的思路，运用怎样的思想方法，才有助于大量产生创造性的思维成果呢？这些问题值得每位教者认真思考.

李嘉曾的《创造的魅力》一书中指出：“人的思维有三种基本形式，它们是抽象思维、形象思维和灵感思维.” 而创造性思维是指能够产生前所未有的新结果，达到新的认识水平的思维. 创造性思维具有新颖性、非重复性和超越性等本质属性. 因此任何一种思维的基本形式都可能产生创造性思维的结果，创造性是对思维内容的评价. 根据创造性的基本原理和许多成功者的经验总结，发散思维与集中思维结合、求同思维与求异思维结合、正向思维与逆向思维结合等对立统一的辩证思路，是开展创造性思维的有效途径. 这里笔者结合数学实例谈谈在平时教学中如何采用以上三种思维来培养学生的创造性思维，从而让学生逐步形成创新意识.

[?] 发散思维与集中思维结合

“条条大路通罗马”形象地说明了一种有效的思维方法：发散思维. 发散思维是从一点出发，向各个不同方向辐射，产生大量不同设想的思维. 发散思维具有多方向、多渠道、多层次的开放性特征，亦称扩散思维或辐射思维.

点评：方法1从结论出发，将条件两边平方，然后比较+与1的大小，采用作差法，考虑问题直接，思路也自然. 方法2在sinα与cosα的影响下，注意到“1”的变换，也是我们平常所强调的重要转化方法. 方法3直接从基本不等式出发，巧妙地证明. 方法4从三角的角度利用辅助角公式asinθ+bcosθ=·sin（θ+φ）及三角函数的有界性巧妙地加以证明. 方法5数形结合是解决数学问题的重要思想，看到代数式能联想到其几何意义，从解析几何角度找到解决问题的突破口. 方法6利用柯西不等式直接加以证明，激发学习选修的兴趣. 一道证明题通过发散思维作用，竟然想出六种不同的方法，很好地体现数学思想方法，相信你一定感觉到了发散思维的奇妙之处了吧！

集中思维是指在分析、综合、对比等的基础上推理判断，从并列因素中作出最佳选择的思维方式. 在数学解题过程中经常会碰到这样的情况.

案例2：已知函数f（x）=log3，x∈（0，+∞），是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列两个条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；②f（x）有最小值1. 若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

点评：这一问题许多学生首先考虑到用导数法研究函数的单调性，但又不敢往下做，主要是因为函数表达式有些复杂，求导不方便，于是就卡住了. 但仔细想想，研究函数的单调性除导数外，还有定义法、复合函数单调性法、图象法等，解析1就是用复合函数单调性法.然而，细品味导数法就繁吗？解析2看上去明显比解析1要简洁，不因为看上去复杂就不动笔做，坚持做下去才有收获. 解决函数单调性方法很多，经过多角度、全方位的分析思考，最终还是通性通法——导数法最简洁.

[?] 求同思维与求异思维结合

世间事物是千变万化的，也是相互联系的.有变化就有异，有联系就有同.同和异是对立统一的一组矛盾. 同中有异，异中有同，求同思维与求异思维相结合将帮助我们排忧解难，不断有所突破，有所创新.

求同思维是指在不同事物（现象）之间寻找相同之处的思维方法，也就是透过现象看出事物之间的本质联系，并且利用这种本质联系获取新的认识，产生创造性的思维成果.

案例3：观察如下一组试题：

点评：以上三个问题背景虽不同（函数、三角、解几），高三教师在复习时都有很多的解题方法，但仔细品味，其实它们都涉及对二次三项式的处理. 抓住了这一点，就能从本质上掌握这一类问题的解决方法. 将一些“相似”甚至看似“联系不大”的不同领域（如函数、三角、解几、不等式等）的题目进行简化、抽象，并对其进行系统地归纳、概括，从中抽出具有共性即共同的解题规律性的东西，并进一步提升，形成分析、解决问题统一的思维模式——求同思维.

求异思维是从同类事物（现象）中寻找差异的思维方法，在此基础上通过不同的方向、不同的角度，多途径地探索客观真理和问题的答案.

案例4：对等差数列前n项的和Sn=的认识.

数学学习中会碰到许多公式，如果教师在公式学习和使用上不能讲解到位，往往给学生学习带来很大的障碍. 对于一个公式，我们要做到正用、逆用和活用，这样才能说真正理解到位. 等差数列前n项的和Sn形式很多，如：

Sn====n·a中，

点评：这一组问题针对等差数列前n项和Sn各种不同形式而设计，可以多角度、深刻地理解和掌握等差数列前n项和的公式.

[?] 正向思维与逆向思维结合

思维的方向是一个形象化的比喻.思维并不是矢量，当然谈不上方向的概念. 然而，为了便于讨论和研究，我们把人开展思维时的趋势或思路比作方向，以此来探讨内在的规律和有效的方法.

正向思维即分析解决问题的思维策略模式的探索与构建，是直接的，正方向的，尽情地，发散的，而且往往是针对一个具体问题的.

案例5：已知两点A（3，0），B（0，3），抛物线C的方程是y=-x2+mx+1，抛物线C与线段AB有且只有一个公共交点，试求实数m的取值范围.

解析1：抛物线C与线段AB有且只有一个公共交点

当正向思维的思路和方法均难奏效，直接证法达不到目的时，可考虑逆向思维. 逆向思维是不按常规思路，与正常思路相反，或与问题常见解法相违的思维特征，往往同正向思维相反，是一种非常规思维方式. 数学中的反证法、补集法和变换主元法均是常见的逆向思维解题方法.

案例6：若下列方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

分析：该问题若正向思考，包括如下三类情况：①只有一个方程有实根，有3种情况；②只有两个方程有实根，有3种情况；③三个方程都有实根，有1种情况. 因而，问题就显得较为复杂，不易弄清. 若逆向思考，“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定是“三个方程都无实根”，则问题一下子就解决了，这就是正难则反的思想.

解析：若三个方程都无实根，则