一道不等式题目解法的课堂实录

李德安

摘 要：高三数学二轮复习应是有针对性的复习，而不应被形形色色的教辅资料所左右，为此笔者组织了全班学生自己出题、编题；高三数学课堂的解题教学，应以学生为中心，从学生的思路中生成解法，而不应是教师一个人的解题天下，本文就是一篇以学生为解题主体的课堂实录.

关键词：高三数学；解题教学；课堂实录

[?] 课例背景

在新课程背景下，为了更好地调动全体学生学习的积极性，提升高三复习的有效性与针对性，开展好学生的研究性学习及提高学生的探究实践能力，在完成高三一轮复习前，笔者给任教的曲靖一中2013届1班的全体学生布置了一个学习任务：全班54名学生自由组合成11个学习小组，每组5名学生（其中一个组有4个人），各组推举出小组长，按照高中数学的章节知识，将高中数学分成集合与函数、导数的应用、三角函数、平面向量、数列……共11个单元，每个学习小组负责一个单元的复习工作，收集5-6道具有代表性的题目，最后汇集在一起，成为本班二轮复习的专用资料，收集试题的时间约一个月.接下来在课间、自习等时间各组在小组长带领下，认真做题、研题、选题、编题，于2013年1月20日各单元试题汇集出炉，然后笔者复印给学生人手一份（不含答案）. 进入3月份，到了二轮复习时，以此资料为复习资料.

[?] 课例过程

在三角函数单元中，第3题题目如下：解不等式+>0.

教师：本节课我们一起研究《三角函数》单元中第3题的解法. 唉，在三角函数单元中，怎么会出现一道解不等式的题目呢？

众生：应该通过三角代换，转化到三角函数来解答.

教师：不错的想法，如何进行三角代换呢？

教师：请同学们认真检查他的解法，有没有什么漏洞呢？

学生6：对于不等式x+1>x2两边同时平方时，还要保证x+1>0，解出该不等式的解集，再与上述过程解出的x>-取交集，才是最后不等式的解集.

教师：说得太对了，学生5虽然也考虑到要使不等式x+1>x2成立，必须有x+1>0，从而可以同时平方，但不加上限制条件x+1>0，就不能保证x+1是正数了，平方后的不等式与原不等式就不是同解不等式了，所以在解不等式时一定要保证同解变形，本题虽然最后结果是对的，但却存在漏洞.

本节课学生从三角代换、解不等式的角度给出了这道题目的解法. 在解的过程中，有的地方还不够严谨、严密，好在我们的学生可以共同地加以完善. 在高三二轮复习中，我们要进一步规范自己的学习习惯，这不仅是复习中的要求，更是我们整个人生中的要求. 时间很快，本节课即将结束，但对于问题的探究还没有结束，课下学生在这节课的基础上，继续思考还可以从其他方面解决该问题吗？

第二天上课，笔者继续追问“这道题目经过探究，还有其他解法吗？”

学生7：对于上节课生5谈到的通过分类讨论解不等式，其实还可以变形到不同的形式解不等式，不等式变形到x>x2-1时，也可以如下解答：

这时，学生8有些激动，手早已举得高高的.

学生8：对于学生7变形到第2、第3种情况时，我们还可以从形的角度看出解集.

令y1=，y2=x-，函数y1图象是双曲线y-x2=1（y1>0）的上支，函数y2是奇函数，且在（-∞，0），（0，+∞）都是增函数. 当x=±1时，y2=0，它们的图象如图1所示.

大家热烈地鼓掌，可掌声后，很多学生还有疑问：若当x>0时，函数y2的图象并不在y1图象的下方的话，就不对了.

学生8（眯笑着说）：我们在解方程y1=y2时，只有两个解x1与x2，再没有其他解了，说明当x>0时y2与y1不会有交点，又当00，所以当x>0时，y2的图象一定在y1图象的下方.

学生们的掌声更热烈了，笔者也很激动.

教师：解法巧，解释妙，真是巧妙啊！

又有五、六名学生举手示意，还可以从渐近线的角度进行解释，双曲线y-x2=1的渐近线方程是y=±x，当x>0时，y1>x，而y2=x-0时，y1与y2的图象分居在直线y=x的两侧，当x→+∞时，y2=x-→y=x，说明y=x是函数y2图象的一条渐近线，同时，y=x也是函数y1图象的一条渐近线，所以，直线y=x是函数y1与y2的“分渐近线”（前几节课刚刚讲过2012福建高考中的一条有关分渐近线的题目），笔者惊喜地发现，又有一名学生手举得高高的.

学生9：其实，解释x>0时，函数y1的图象在函数y2的图象上方，太简单了. 当x>0时，>x-?-x> -，不等式左边为正，右边为负，所以显然有-x>-，从而>x-.

众生叹气，有着一种说不出的感觉：大家都沉浸在用了妙招解释疑点的喜悦中时，却被学生9用了如此显而易见的道理解释得淋漓尽致……

教师：这就是数学的魅力呀！好的见解的背后还有更高、更妙、更绝的见解，所以我们要一直努力，不能仅仅停留在自己掌握的做法上，那么还有其他解法吗？（这时，又有两名学生举手，让笔者有些出乎意料）

学生10：+>0?+>0?-2+1>0.

令=t，则t-2t2+1>0，解得- -.

普生11：我的做法与生10的做法本质上是一样的.令t=，得x2=，从而不等式可化为t2-2t2+1>0，下同学生10.

教室里又一次响起了热烈的掌声.

教师：学生10通过变形，将视为整体来解不等式，生11直接通过换元的思想，令t=，减少了变形过程中的思维量，直接得到关于t的不等式. 最后，两位同学都化到了t-2t2+1>0，而这与学生1、学生2、学生3通过三角代换后得到的形式是一致的，正所谓“条条大路通罗马”，我们从不同的起点，来到了同一个地点. 本节课又是这么快的就要结束了，但我们的同学带给我们的方法，促使我们思维的发展还没有结束，我们都应明确一个道理：你有一个苹果，我有一个苹果，交换后，每一个人还是各有一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，交换后，每一个人都至少有两种思想. 下课！

[?] 课例自评

从教育心理学的角度来评价一堂课的话，关键是要看学生的深层学习——“体证学习”， 体证学习要关注两方面，一方面要让学生看到教师的体证学习，另一方面是学生要感受体证学习. 对于一个问题，尤其是比较难的问题的解答，教师应该尽量站在学生的起点，在学生面前再现教师想问题、解决问题详细的解题过程，甚至应该包括教师当初误入歧途的过程. 教师并不一定要在学生面前展现完美，因为学生在解决问题时，并不是一气呵成的，而是思索中前进，失败中进步. 因此，课堂上教师将他的体证学习与学生分享是至关重要的.现在很多课堂，课上确实很精彩，课堂衔接自然，没有什么废话，整节课一气呵成，甚至都有点“自动化”了！或者，课堂上很多教师都在拼命地讲题，课下又让学生拼命地做题，完全陷入题海战术中，与新课程理念是格格不入的，使学生掉入了畸形的发展中，这样的课很难保证学生的体证学习，很多时候是一种表成学习，或者说看似高效而后劲不足的教学. 学生的体证学习是需要时间作保证的，这里说的时间是指学生自己独立思考的时间. 课堂教学某种程度上可以说是共鸣的教学，学生应该在教师的引导下，听其话，领其意，在意的基础上达到一点共鸣，或者学生在意的基础上又产生了新意，这样的学习是更有意义的学习. 课堂上，教师不应该占据学生的“生意”时间，牵着学生的鼻子走，那样只能导致教师累、学生废. 本节课的整个过程，力求学生的体证学习，知识的自然生成.

2001年修订的布鲁姆教育目标分类学，从认知过程角度把认知领域的学习由低到高分为记忆、理解、运用、分析、评价、创新六个层次. 反观当前的课堂教学，学生的学习则主要局限于记忆、理解、运用三个层次，学习过程被大大窄化. 事实上，在学校的课堂教学情境下，课堂目标和标准的强制性、教材内容的相对稳定性、教学评估指标的客观性，往往使“准确无误地掌握课程内容”成为师生的共同目标，“引入新知、促进理解、练习巩固”成为课堂教学的主要环节，记忆和分析成为学生学习的主要过程，而创新的机会变得少见. 本节课试图不要将学习过程窄化，给足学生的体证学习时间，实践证明效果也颇好. 我们应还课堂给学生，让学生大胆地交流（本节课中，涉及详细解法的，都是由学生在黑板上详细板演的），看到他们的闪光点，同时也捕捉到不足及时弥补. 教是为了不教，是为了更好地培养学生探究创新的能力. 我们教师有义务塑造好学生的品格，培养他们合作交流、勇于探索的精神，而不仅仅只是为了高考的那一个分数！