以问题驱动为主线的教学设计

庄玉英 骆妃景

摘 要：《直线与平面平行的判定》是高中数学人教A版必修②第二章第二节第一讲内容，以学生已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理. 教学设计力图构造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，享受解题成功的喜悦，增强学习数学的兴趣.

关键词：教学设计；线面；平行

[?] 教材地位分析

线面平行的判定，蕴涵着化归与转化思想，是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，为后续学习线面平行性质、面面平行以及三大垂直判定与性质等内容奠定了知识与思想方法基础，本节课的学习对培养学生数学表达与交流能力（文字语言、符号语言、图形语言转换）、空间想象能力与推理论证能力起到重要作用.

[?] 学情分析

学生对立体几何学习兴趣较高，但符号、图形表达能力以及空间想象能力比较薄弱，空间问题平面化的化归转化思想方法储备不足，学习上有一定困难.

[?] 教法学法分析

教法：采用了启发式和探究式教学方法，以问题驱动为主线，激发学生参与学习的积极性和主动性，引导学生通过直观感知、操作确认构建线面平行判定定理，采用多媒体辅助教学.

学法：通过问题驱动，让学生经历直观感知、确认操作的过程构建新的知识，再通过例题讲解、变式训练、动手实践使新知识得到应用.

[?] 教学目标

1. 知识与技能

（1）线面平行判定定理的理解和应用.

（2）能准确使用数学符号语言、图形语言、文字语言表达判定定理.

2. 过程与方法

让学生经历直观感知、确认操作的过程，进一步理解并掌握将立体问题平面化、线面问题线线化的化归与转化思想.

3. 情感、态度与价值观

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，享受解题成功的喜悦，增强学习数学的兴趣.

[?] 教学重点、难点

教学重点：线面平行判定定理的理解和应用.

教学难点：直线与平面平行判定定理的探索过程及其应用.

[?] 教学过程设计

（一）温故知新、复习提问

教师：空间直线与平面的位置关系有哪些？

学生：线面平行，线面相交，直线在平面内.

教师：在以上的三种位置关系中，直线与平面的公共点的个数依次是多少？

学生：依次是0个，1个，无数个.

教师：那你们能用图形和符号来表示以上三种情况吗？

学生活动：一位学生在黑板上板演，其余学生在练习本上画，教师针对学生出现的情况，如不直观、不标字母等加以强调.

设计意图：通过提问，学生复习归纳空间直线与平面位置关系，并训练学生的图形与符号语言的表达能力.

教师：根据线面平行的定义（没有公共点）来判定线面平行，你认为方便吗？

学生：不方便.

教师：为什么呢？请说说自己的理由.

学生：由于直线和平面都是无限延伸的，用定义判断它们究竟有没有公共点很困难.

教师：嗯，很好！由于判断直线与平面公共点的个数较为困难，所以我们需要找一种比较实用的线面平行判定方法.

教师：我们一起来回顾一下在研究异面直线所成的角时，我们通过平移，把问题转化为研究两条相交直线所成的角，即采用空间问题平面化的方法来解决问题，那么我们能否通过类比把线面平行的判定转化为线线平行来解决呢？我们今天就一起来探究这个问题.

教师板书：直线与平面平行的判定定理

设计意图：设置疑难，引起学生的认知冲突，用定义法难以证明“无公共点”，唤起学生的思考讨论，引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备.

（二）直线与平面平行判定定理的构建

1. 直观感知

教师：门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系呢？

教师活动：教师打开教室的门做示范.

学生：平行.

教师：将课本平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系呢？

教师活动：教师通过多媒体演示翻书过程，让学生直观感知直线与平面平行

学生：平行.

教师：那同学们通过日常生活的观察，你们还能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

学生1：教室天花板上的日光灯与地板，站着的人和教室的墙面.

学生2：拿起手上的笔和桌面比划.

设计意图：从实际背景出发，吸引学生注意力，引导学生从实例中感知线面平行的判定依据.

学生观察猜想回答下面问题：

2. 自主探究，操作确认

教师：同学们，我们现在一起来操作，确认该猜想是否成立.

教师活动：教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印象就不平行. 学生解释现象.

学生预设：因为互相平行的两边，不管怎么转动都是平行的，所以不在桌面的一边与桌面永远不会有公共点，即平行.

设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质.

经过学生讨论猜想，师生共同操作确认后，在归纳直线与平面平行的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导，补充完整. 抽象概括为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

学生尝试用图形语言表述，在练习本上画图.

教师板书：直线与平面平行判定定理的三种表述：

设计意图：通过三种语言表述定理，培养学生的数学表达与交流能力，让学生感受到判定定理的条件与结论.

教师强调：直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线；②平面内一条直线；③这两条直线平行，这三个条件缺一不可.

简单概括：（内外）线线平行?线面平行

作用：证明线面平行

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行

思想：空间问题转化为平面问题，化归转化思想.

设计意图：适时归纳知识与方法，让学生进一步理解知识，形成认知结构.

（三）理解定理，变式探究（多媒体幻灯片演示）

1. 定理的再认识

（1）判断下列命题的真假，说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行.（ ）

②若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.（ ）

③一直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行.（ ）

（2）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是（ ）

A. a∥α B. a?α

C. a∥α或a?α D. a?α

学情预设：设计这两道经典的考题，目的是让学生对定理更加深入地理解，强调定理中三个条件缺一不可，同时预设（1）中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到教师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些. 教师可以用一支粉笔穿过一张薄纸举出不平行的反例，预设（1）中的②教师在桌面上放几条平行的粉笔做反例.

2. 例题讲解

例1：（课本例题）求证：空间四边形相邻两边的中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

学生根据题意画图，将其转化为几何命题：

已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.

图（略）.

教师活动：教师多媒体演示平面四边形沿对角线折起的动态过程，加深学生对空间四边形的认识，体会线面平行判定定理的应用.

请三位学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同评析，并在黑板上完善规范的解答过程，强调学生答题的规范性. 明确运用线面平行判定定理时的具体步骤，防止缺少条件.

设计意图：在学生学完定理后，安排应用定理的题目，可加深学生对定理的理解，课本上提供了一个文字叙述的证明题，教师要引导学生分析问题，让学生通过作图来理解题意，进而结合图形写出已知和求证，这样处理可以提高学生的作图、识图和用图能力. 在强化学生的目标意识时，要对运用判定定理的解题进行有效指导.

变式一：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA中点，连结EF，FG，GH，HE，AC，BD，请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况.（共6组线面平行）

变式二：已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB合AD上的点，若_____，则EF∥平面BCD（请填上一个使命题成立的条件）

设计意图：以例题的变式为切入口，引导学生进一步熟悉定理、应用定理，因为一个定理的灵活运用是离不开“反复操作”的.

例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并加以证明.

设计意图：学生自己作图，教师积极引导学生寻找适当的辅助线，为运用定理创造条件，做辅助线要掌握直观感知平移找平行四边形或三角形中位线的技巧.

变式三：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC与C1D1中点，求证：EF∥平面BDD1B1.

设计意图：变换图形，一题多证，使不同层次的学生得到不同的思考途径.

变式四：已知四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AB∥CD且CD=2AB，问线段PC上是否存在点F，使得BF∥平面PAD？并证明你的结论.

3. 学以致用

有一块木料如图3所示，P为面BCEF内一点，要求过点P，在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，多媒体展示作图的动画过程.

设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质.

（四）课堂小结

教师：今天我们学习了直线与平面平行的判定，判定定理是什么呢？需要注意什么呢？

先由学生口头总结，互相补充，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1. 线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行.

教师再次强调定理的三个条件缺一不可，以及本课蕴涵着空间问题平面化的化归转化数学思想方法.

3. 在作辅助线时，通过直观感知的技巧，构造一个三角形中位线或平行四边形，再演绎推理去得到线线平行的条件.

设计意图：课堂小结，使学生能对所学的知识有一个比较全面、深刻的认识，对学生知识体系的形成有很好的指导作用.

（五）作业布置

1. 课本本习题2.2A组的第3题

2. 课本习题2.2B组的第1题

3. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，Q，P分别是棱BD与AD1上的点，AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1.

设计意图：通过一定量的作业巩固所学知识，形成技能，提高解题能力.

[?] 教学反思

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，很好贯穿了问题引领学习的意识，过程中注重几何要素，即空间观念和推理，例如要求学生自己上台画图表示线面关系、定理的应用等，培养了学生勇于探索、团结合作的精神，以及推理论证能力、数学表达能力和空间想象能力，更注重使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质.