反例在初中数学教学中的运用

范鑫

摘 要： 随着教育教学工作的不断深入，反例教学在数学教学中的重要性已越来越被广大师生重视和认可。在日常数学教学中，教师经常会发现按照正常逻辑顺序讲解的知识学生听得似懂非懂，这大大降低了教学效率，更浪费了宝贵的教学时间，而如果能恰当适时地构造反例，不仅能使学生全面地理解数学概念、法则、公式、定理等，还能培养学生的思维品质。本文从恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念，深化理解，证明猜测，以及恰当构建反例，培养学生的创造性思维四个方面谈谈在初中数学教学中恰当运用反例的重要性。

关键词： 初中数学教学 反例 数学概念 创造性思维

新的数学课程标准将数学思维作为数学教学的一个重要分支纳入到数学教学总体目标中，这足以表明数学思维的重要性。只有巧妙使用在反例，才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。

一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念

二、巧用反例，深化理解

要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子即可。在学习公式、定理时，有的学生常常不注意条件，在解题中常常出错。这时，教师可以借助反例使学生深入思考，避免解题时再犯同样的错误。在讲解三角形全等判定时可以设计这样一题：“有两边和其中一边的对角对应相等的两三角形全等吗？”

三角形全等判定，明确至少具有三个元素，对应相等的两三角形全等。因为学生对“边角边”判定三角形全等已理解，主观上提出此问，大多数学生很难准确作出判断。如图，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′显然是不全等的。

这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。

又如，为了让学生更好地掌握“一元二次方程”的概念，可以设计这样一道练习题：下面列方程是一元二次方程的有（ ）

学生对选项A和B有争议，我们可以让学生对照概念对选项A、B进行讨论。他们最后认定A选项是正确的，由此加深了对一元二次方程概念的理解：与系数有关，与未知数的指数有关，学生对B的争论闪现了逆向思维的火花，即举反例：当a=0时，选项B不正确。通过引导学生举反例纠正了这一常见错误，同时解决了教学中的重点、难点问题，提高了教学的有效性。

三、巧用反例，证明猜测

常有这样的情况，一个数学家的重要猜想，用了很长时间不能证明猜想，若干年后，却有人举出反例否定这样的猜想，问题得到了解决。

因为学生平时接触的命题大都是真命题，学生最熟悉、习惯的是正向思维，易形成思维定势，总是千方百计地希望证明结论成立，这往往反映出学生思维品质的缺失。实际上，无论在理论研究上还是实际生活中，假命题都很多。正是由于对逆向思维要求较高，使得“反例题”的编写困难，题海中经典“反例题”难得一见。如判断：（1）所有边都相等的多边形一定是正多边形。（2）所有角都相等的多边形一定是正多边形。（1）和（2）都是错误的，例如菱形和矩形。这两个反例学生都容易想到。但是，除此之外，还有没有其他反例呢？教师还可以做进一步提问。

四、恰当构建反例，培养学生的创造性思维

反例的运用、构建，是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、誘发学生创造力的一种很好的载体。反例往往是伴随数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程、如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生的创造性思维。

例如， 请学生判断：“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是真命题吗？

教师在教学时，可以利用严格的尺规作图，进行如下的反例构建：构建△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD， CE=AD。从而△AEC≌ △BDA，则得∠D=∠E，AD=CE。但四边形ADCE不是平行四边形。这样通过构建反例，使学生在认识上产生质的飞跃，培养创造性思维。

可见，在初中数学教学中，反例的构建是一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有极其重要的作用。教师在教学中，不但要适当地使用反例，更要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境，需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学知识，充分展开想象。在初中数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面思考问题，有助于数学教学质量的提高和学生数学素养的培养。只要教师在教学过程中合理地运用反例，适当地构造反例，就能使学生不断地完善数学概念，提高分析、判断问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果。

参考文献：

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[2]吕汉茂.运用反例教学提高课堂教学质量.中学数学研究， 2005（11）.

[3]俞求是.试论数学的科学性及其特点与数学教学.人民教育出版社，2009年4月5日第1版.