2013年高考数学必做客观题——解析几何

廖如舟

直线方程及位置关系

（★★★）必做1 已知曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分，则常数m的取值范围是______.

[牛刀小试] [牛刀小试]

精妙解法 设抛物线上存在两个点A（x1，x），B（x2，x）关于直线y=m（x-3）对称，则

=m

-3

，

=-，消去x2得：2x+x1++6m+1=0.

由x1∈R知，Δ=>0，从而有（2m+1）（6m2-2m+1）<0，

故可解得m<-，故原问题的解为m≥-.

极速突击 直接求解较为困难，可以从反面来考虑，先求使曲线y=x2上存在两个点关于直线y=m（x-3）对称的m的取值范围.

（★★★）必做2 在平面直角坐标系中，动点P（a，b）到直线l1：y=3x和l2：y=-x的距离之和为4，则的最小值为________.

[牛刀小试] [牛刀小试]

精妙解法 法1：由题意可知：d1=，d2=，且d1+d2=4，即=4，则有10（a2+b2）+2

3a-b

a+3b

=160.

因为160≤10（a2+b2）+（

3a-b

2+

a+3b

2）=20（a2+b2），则a2+b2≥8，的最小值为2.

法2：由于l1，l2互相垂直，则P（a，b）到两直线的距离之和即为一个矩形的两直角边长的和. 可设两边长分别为x，y，则x+y=4，而OP2=x2+y2，则由不等式的知识可得：

x2+y2≥2·

=2×4=8，即OP2=a2+b2≥8，得解.

法3：由于l1，l2互相垂直，可将其看做是直角坐标系. 在直角坐标系内，到两坐标轴的距离之和为4的轨迹是直线x+y=4，的最小值即等价于从O到直线的距离最小，那么即为过O引直线的垂线，即dmin=2.

圆的方程及位置关系

（★★★）必做3 已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则C的方程为__________.

[牛刀小试]

精妙解法 由题意知，两切线间的距离即为圆C的直径，所以半径r=×=，又两切线分别与直线x+y=0的交点为切点，可得两切点分别为（0，0），（2，-2），故圆心为C（1，-1），所以C的方程为（x-1）2+（y+1）2=2.

极速突击 数形结合，通过几何图形快速确定圆的圆心、半径，充分利用问题的“个性”条件. 一般利用几何意义解题会比较直观、简洁.

（★★★）必做4 已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（ ）

A. 有最大值为π

B. 有最小值为π

C. 有最大值为4π

D. 有最小值为4π

[牛刀小试]

精妙解法 如图1所示，由圆C经过点F（0，1），并且与直线y=-1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2=4y，显然，以抛物线x2=4y上任一点为圆心可作出任意大的圆，与直线3x-4y+20=0相交，即圆C的面积不存在最大值. 设圆C与直线3x-4y+20=0相切于点A，其圆心为（x0，y0），则由AC=PC可得，d==y0+1（点C在直线3x-4y+20=0的右侧），即=x+1，解得x0=-2或x0=（舍去）. 当x0=-2时，圆心C的坐标为（-2，1），此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π

极速突击 弄清楚最小圆圆心的位置，很快可以算出最小半径的圆的相关数据.

掌握圆的一般方程和标准方程，“选形式，求参数”是确定圆的方程的基本方法，圆心是定位，半径是定形，将代数和几何的方法有效结合起来，会比较直观和简洁.圆心与半径作为圆的两个核心要素要念念不忘，“圆不离心”，涉及圆的试题大多要从圆心考虑，通过半径建立关系.

直线与圆的位置关系

（★★★★）必做5 若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

0，

精妙解法 法1：圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为（x-2）2+（y-2）2=（3）2，

圆心坐标为（2，2），半径为3. 要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，≤，

+4

+1≤0，则-2-≤≤-2+，k= -，则2-≤k≤2+，

故直线l的倾斜角的取值范围是

，

，选B.

法2：由题意可知：圆心到直线的距离为，而圆心与原点连线的倾斜角为45°，且圆心到原点的距离为2，故有倾斜角为45°±30°，故选B.

（★★★）必做6 若已知不等式≤k（x+2）-的解集为区间[a，b]，且b-a=2，则k=__________.

精妙解法 令y1=，y2=k（x+2）-，则y1=表示的是以原点为圆心，3为半径的半圆在x轴上方的部分；y2=k（x+2）-表示的是过定点（-2，-）的直线系，那么使得直线在半圆上方的x就是不等式的解，显然b=3，则a=1，故点（1，2）是直线与半圆的交点，故点（1，2）在直线上，即有k=.

（★★★★）必做7 已知圆O：x2+y2=1和二次曲线y=x2-2上三个不同点P，Q，R，已知直线PQ和直线PR都与圆O相切，则直线QR与圆O的位置关系是__________.

[牛刀小试]

精妙解法 设P（a，a2-2），Q（b，b2-2），R（c，c2-2），则直线PQ：（a+b）x-y-ab-2=0，

直线PR：（a+c）x-y-ac-2=0，直线QR：（b+c）x-y-bc-2=0. 由于直线PQ和直线PR与圆O相切，=1，（a2-1）b2+2ab+3-a2=0，（a2-1）c2+2ac+3-a2=0，

所以b，c是方程（a2-1）x2+2ax+3-a2=0的两根，则有b+c=，bc=，故圆心O到直线QR的距离为d===1，即相切.

极速突击 运用方程的根的意义将直线PQ和PR与圆O相切的关系转化到直线QR与圆O的关系上.

圆锥曲线的定义

（★★★）必做8 已知△ABC三个顶点均在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点为F，若+=，则

FA

+

FB

+

FC

=________.

精妙解法 抛物线焦点坐标为（1，0）. 设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），=（1-x3，-y3），x1-1+x2-1=1-x3，所以x1+x2+x3=3，所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+3=6.

（★★★★）必做9 已知F1，F2为椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点，M是椭圆上与F1，F2不共线的任意一点，I是△MF1F2的内心，延长MI交F1F2于点N，则=__________.

[牛刀小试]

精妙解法 I是△MF1F2的内心，MN是∠F1MF2的角平分线，则=，=，即=，=，=（角平分线定理）.

极速突击 充分利用图形，结合椭圆的定义和角平分线定理，利用内心到三条边的距离相等快速解决，切勿用计算长度的思维定式求解.

（★★★★★）必做10 双曲线-=1（b∈N）的两个焦点F1，F2，P为双曲线上的一点，

OP

<5，

PF1

，

F1F2

，

PF2

成等比数列，则b2=________.

[牛刀小试]

精妙解法 作P关于原点的对称点P′，使得PF1P′F2为平行四边形，令

PF1

=m，

PF2

=n，则2（m2+n2）=4c2+4

OP

2，故

OP

2=-c2<25，而m-n=4，mn=4c2，故3c2=3（4+b2）<17，b∈N，所以b2=1.

极速突击 本题关键在于

OP

<5这个条件的使用，我们能够在焦点三角形中建立出方程，但是如果设点P的坐标，那么将陷入到复杂的运算中，故我们要利用

OP

与

PF1

，

PF2

之间的关系，即平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和（可用向量、余弦定理等许多方法证明）.

圆锥曲线的性质

（★★★★）必做11 若椭圆+y2=1（m>1）与双曲线-y2=1（n>0）有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是________.

精妙解法 对于椭圆+y2=1，有c2=m-1；对于双曲线-y2=1，有c2=n+1，故有m-1=n+1，即m-n=2，由P是两曲线的一个交点，则有

PF1

+

PF2

=2，①

PF1

-

PF2

=2，②

则由①②可得：

PF1

·

PF2

=m-n=2.

又cosα===0，面积为

PF1

·

PF2

=1.

亦可由S△F1PF2=×

F1F2

yP

，且

F1F2

=2，且点P为两曲线的交点，故可得：

yP

=，即S△F1PF2=×2==1.

（★★★★）必做12 已知F1，F2分别为双曲线-=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是_______.

[牛刀小试]

精妙解法 由已知有==+PF2+4a≥4a+4a=8a，

其中当且仅当=PF2，即PF2=2a时取等号. 这时PF1=4a. 由PF1+PF2≥F1F2，得6a≥2c，即e=≤3，所以e∈（1，3].

（★★★★）必做13 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线-=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ）

A. 0，

B.

，

C.

，

D.

，

[牛刀小试]

精妙解法 设双曲线半焦距为c，l的倾斜角为θ，则c2=a2+b2>b2，依题意有c=①，在抛物线中求得AF=p，在双曲线中求得AF=，所以=p②，由①②得=2c，故tanθ==>2. 又θ∈0，

，于是θ∈

，

，选D.

（★★★★）必做14 已知点A（，0）和曲线y=（2≤x≤2）上的点列P1，P2，…，Pn，若

P1A

，

P2A

，…，

PnA

成等差数列，并且公差d∈

，

，则n的最大值为______.

精妙解法 题设的曲线是如下的曲线的一段，即-y2=1（2≤x≤2，y≥0），A（，0）是它的右焦点，x=是右准线. 设P（2，2），离心率e=，得

PnA

min=-2，

PnA

max=e

PH

=

2-

=3（

PH

为P到准线的距离）. 由等差数列a1=-2，an=3，则d=（n>1），而d∈

，

，即n∈（7，15），故n的最大值为14.

在平面解析集合中，抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能为研究曲线的几何性质提供简捷的解题途径. 同时，要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研形”的简化运算功能.