求二次函数解析式方法探析

田桂珍

函数是描述变化的一种数学工具，而二次函数是函数家庭中的重要成员，对抽象思维的训练起着不可替代的作用 ，更是高中阶段进一步学习函数的一个基础. 在二次函数这章内容中，求二次函数解析式又是非常重要的问题，在考试题中经常出现，学生又不能找出适当的方法求解，下面我就求解析式方法作出以下分析.

（一）一般式法

已知二次函数图像经过三点的坐标，求函数解析式.像这样的题型可以设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据抛物线所经过三点的坐标可列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c.这种题型相对比较简单，下面看例题：

例题已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图像如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

分析通过图像可以看出，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，我们可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，得出顶点坐标.

点评可以看出这是数形结合的一道题目，通过图像可以看出抛物线所经过的三点坐标，然后设出二次函数的一般解析式，解出a，b，c.需要注意的是：如果这道题是求“图像所表示的函數解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x≥0.对于二次函数的一般式和顶点式的转化，学生必须要灵活掌握，可以通过配方，也可以通过顶点式.

（二）顶点式法

已知二次函数的图像的顶点坐标（h，k），并且图像上另一点坐标，求函数解析式.对于这样的问题，我们可以设函数的解析式为y=a（x-h）2+k，将另一点坐标代入求出a.

例题已知二次函数的图像经过点（0，3），且顶点坐标为（-1，4）求这个函数解析式.

点评对于这种题型，设顶点式比较简单，但这并不是唯一的方法，也可以设一般式，代入顶点坐标的表达式，再通过代入一点的坐标列出相关等式，解出a，b，c.这种方法计算比较烦琐，不建议用，但要让学生知道一道题往往有多种方法.

（三）交点式法

已知二次函数图像上的一点坐标及x轴交点的坐标（c，0）（b，0），求函数解析式.我们可以设函数解析式为y=a（x-b）（x-c），再将另一点坐标代入求出a.

例题（2005芜湖）已知二次函数图像经过（2，-3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式.

分析解这类题将点的坐标与线段的长互相转化非常重要，但要注意坐标的符号，会运用抛物线与x轴的两交点坐标与抛物线对称轴的关系这块知识及x轴上两点之间的距离确定抛物线与x轴的交点，再利用交点式法求抛物线的表达式.

点评本题考查了抛物线的对称性和用顶点式法求抛物线的表达式，题目比较典型，并且运用抛物线的对称性迅速地求出该抛物线与x轴两交点的坐标.

小结求二次函数的解析式的常用几种方法是：一般式法、顶点式法、交点式法， 如果学生都掌握好了， 拥有看图的能力了， 具备找点的能力了， 遇到具体求二次函数解析式的问题能迅速设出相应解析式， 使用待定系数法求出待定系数， 进一步求出抛物线的解析式， 这几种方法学生都掌握了， 无论题设怎样变化， 相信学生都能将函数的解析式求出来， 一定能很轻松地过求二次函数解析式这一关.