浅论极限在高等数学中的作用

刘亚敏

众所周知，高等数学是现代科学技术中应用最广泛的一门学科.在从初等数学这种静态的数量关系的分析到高等数学这种对动态数量关系的研究这一发展过程中，研究对象发生了很大的变化.也正是在这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应运而生.极限作为高等数学的理论基础和基本组成部分，作为区别初等数学的重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的形式，在高等数学的舞台上扮演着一个极其重要的角色，贯穿于整个高等数学的过程之中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上.可见，极限在高等数学中起到了极其重要的作用.

一、极限的产生和发展是高等数学产生的基础

在西方，极限观点的萌芽起源于对量的可分性的质疑.早在古希腊时代，一些智者就提出质疑：它是无限可分的，还是由无穷多个极微小的不可分的部分组成的？对于两种设想，不同学派有不同的看法，但无论哪种看法，都包含了最朴素的极限思想：无穷逼近.如，古希腊的数学家欧多克索斯所提出的穷竭法，他认为量是无限可分的，并建立了下列原理：

“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量.”

极限观点在我国古代也有记载，战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去.此外，《墨经》中“端，体之无厚而最前者”“端，无问也”“非半弗斯则不动，说在端”等都包含了对物体经“化整为零”后的微分思想.随后，三国时的数学家刘徽在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他用正n边形内接于圆，随着边数不断增加，正n边形的面积越来越接近圆面积，其面积之差也越来越小，当差为无穷小量时，与圆面积无限逼近.这种当n无限增大，用差值趋于零的无限逼近思想，正是现代微积分中的极限思想的本质.

17世纪上半叶，解析几何的产生标志着变量数学的开端，结束了希腊时期形成的数学几何化的一统天下；反过来，用方程表示曲线，在一定程度上又使数学代数化.同时，代数符号体系的形成和发展，都为微积分的建立奠定了基础.伴随着微积分的建立过程，对无穷小量的探讨也越来越引起人们的注意.17世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作，创立了一个新的学科——高等数学.这个学科的特点是，需要运用无限过程运算，即极限运算.高等数学的核心内容是微分学和积分学，而微分和积分的概念是通过极限来定义的.

18世纪的许多科学家，如达兰贝尔、欧拉、拉格朗日等都提出了自己的看法，都不同程度用极限概念作为微积分基础，但并不成功，占优势的还是“无穷小方法”，至于“无穷小”到底是什么，没有公认的精确定义.在19世纪20年代以后，柯西在1821—1823年間出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》两本书，在这两本书中，柯西给出了极限的精确定义，终于解决了“无穷小”问题，确立了极限论作为微积分的基础.

由上可见，在极限的整个发展过程中，我们确定了微积分在高等数学中的基础地位，也肯定了极限论在微积分中的重要地位.因此，极限的产生和发展是与高等数学紧密联系在一起的.

二、极限在高等数学各组成部分的研究中起到了工具作用

高等数学研究的对象是函数，使用的工具是极限.极限方法是用来研究变量问题的基本方法，是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一，本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础，用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的各组成部分进行统一处理.

本文仅以定积分的定义来阐述极限的工具作用：

由上可见，正是由于极限理论的建立，才有了定积分的定义.事实上，高等数学的许多重要概念，如函数的连续性定义、导数的定义、广义积分的定义、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的敛散性定义等都是在极限理论基础上建构的，甚至于高等数学的许多应用模型在其构建过程中大都使用了极限这一工具.如此种种，极限在高等数学中的重要作用可见一斑.搞好极限理论及相关应用的研究，对于高等数学课程建设而言都是十分必要的.